Rayleighjeva porazdelitev

Rayleighjeva porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po angleškem fiziku lordu Rayleighu (1842 – 1919).

Rayleighjeva porazdelitev
Zbirna funkcija verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev.
oznaka	$Rayleigh(\sigma )\!$
parametri	$\sigma >0\,$
interval	$x\in [0;\infty )$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
pričakovana vrednost	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
mediana	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,$
modus	$\sigma \,$
varianca	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
simetrija	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
sploščenost	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
entropija	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
karakteristična funkcija	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

Zgledi

Rayleighjevo porazdelitev ima hitrost vetra kadar komponente dvodimenzionalnega vektorja hitrosti nimajo korelacije in imajo enake variance.Pogosto se zaradi tega uporablja pri modeliranju na vetrnih elektrarnah.
Rayleighjeva porazdelitev se uporablja tudi pri opisovanju višine valov v oceanografiji .

Značilnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev je

${\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$

Funkcija ima največjo vrednost pri

$f_{max}=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}\exp {-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0,606}{\sigma }}$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1,253\sigma$.

Varianca

Varianca je enaka

${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0,429\sigma ^{2}.$.

Modus

Modus je enak

$\sigma \ !$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx -0,245.$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0,631.$.

Entropija

Entropija je enaka

$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$

kjer je

• ${\textrm {erf}}\!$ funkcija napake (Gaussova funkcija napake).

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je enaka:

$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

kjer je

• ${\textrm {erfi}}\!$ kompleksna funkcija napake.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če sta $X\sim N(0,\sigma ^{2})\!$ in $Y\sim N(0,\sigma ^{2})\!$ dve slučajni spremenljivki, ki sta neodvisni, in se podrejata normalni porazdelitvi, potem ima $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ Rayleighjevo porazdelitev.
• porazdelitev hi je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.
• Riceova porazdelitev je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.
• Weibullova porazdelitev je posplošitev Rayleighjeve porazdelitve.
• Če ima slučajna spremenljivka $R\!$ Rayleighjevo porazdelitev $R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\!$, potem ima $R^{2}\!$ porazdelitev hi-kvadrat z dvema prostostnima stopnjama $R^{2}\sim \chi _{2}^{2}$
• Če ima $X$ eksponentno porazdelitev $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )\!$, potem ima slučajna spremenljivka $Y\!$ Rayleighjevo porazdelitev ali $Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\!$.

• Če velja $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\!$, potem ima $\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ porazdelitev gama s parametri $N\!$ in $2\sigma ^{2}\!$, kar lahko zapišemo kot $[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})\!$.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »RayleighDistribution«. MathWorld.
• Opis Rayleighjeve porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev