Matrika vrtenja

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoruUredi

 
Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.
 
Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

 .

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

 .

Tako dobimo nove koordinate   za točko  

 ,
 .

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je   pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je   negativen.

 .

Pogosta vrtenjaUredi

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

  (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)
  (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)
  (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoruUredi

Osnovna vrtenjaUredi

Vrtenja okoli koordinatnih osi   v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

 .

Posplošitev vrtenjaUredi

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenjaUredi

V trirazsežnem prostoru, kjer je   os vrtenja in   je kot vrtenja,  

  •   (i.e.,   je ortogonalna matrika
  •  
  •  
  •  
  • lastne vrednosti   so
 
  • sled matrike   je enaka   kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

  •   os vrtenja
  •   je determinanta
  •   enotska matrika ( )
  •   je običajna imaginarna enota za katero velja  

ZglediUredi

Matrika

 

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

 

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice  

Rotacijska matrika 3×3

 

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi Rotacijska matrika 3×3

 

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−13,23,23) Permutacijska matrika 3×3

 

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija Naslednja matrika 3×3

 

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja Matrika 4×3

 

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja Matrika 4×4

 

predstavlja izoklinsko vrtenje, Matrika 5×5

 

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezaveUredi