Matrika vrtenja

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot $\theta \,$ okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

$R^{T}=R^{-1},\det R=1\,$.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z $R\,$ (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru

Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.

Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}$.

Tako dobimo nove koordinate $(x',y')\,$ za točko $(x,y)\,$

$x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,$,

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,$.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je $\theta \,$ pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je $\theta \,$ negativen.

$R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\,$.

Pogosta vrtenja

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

$R(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}$ (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)

$R(180^{\circ })={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}$ (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)

$R(270^{\circ })={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}$ (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru

Osnovna vrtenja

Vrtenja okoli koordinatnih osi $x,y,z\,$ v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

${\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}$.

Posplošitev vrtenja

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja

V trirazsežnem prostoru, kjer je $a\,$ os vrtenja in $\theta \,$ je kot vrtenja, $R_{a,\theta }\in \mathbb {R} ^{3}$

• $R_{a,\theta }^{T}=R_{a,\theta }^{-1}$ (i.e., $R_{a,\theta }\$ je ortogonalna matrika
• $\det \left(R_{a,\theta }\right)=1$
• $R_{a,(\theta +r)}=R_{a,\theta }\cdot R_{a,r}$
• $R_{a,0}=I\$
• lastne vrednosti $R_{a,\theta }\$ so

$\{1,e^{\lim i\theta }\}=\{1,\ \cos(\theta )+i\sin(\theta ),\ \cos(\theta )-i\sin(\theta )\},$

• sled matrike $R_{a,\theta }\$ je enaka $1+2\cos(\theta )\,$ kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

• $a\,$ os vrtenja
• $\det \left(R_{a,\theta }\right)\,$ je determinanta
• $I\,$ enotska matrika ($I\in \mathbb {R} ^{n}\,$)
• $i\,$ je običajna imaginarna enota za katero velja $i^{2}=-1\,$

Zgledi

Matrika

$Q={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

$M={\begin{bmatrix}0.936&0.352\\0.352&-0.936\end{bmatrix}}$

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice $11y=2x\,$

Rotacijska matrika 3×3

$Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}$

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi Rotacijska matrika 3×3

$Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.8\\-0.8&0.60&0\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}$

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−¹⁄₃,²⁄₃,²⁄₃) Permutacijska matrika 3×3

$P={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija Naslednja matrika 3×3

$M={\begin{bmatrix}3&-4&1\\5&3&-7\\-9&2&6\end{bmatrix}}$

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja Matrika 4×3

$M={\begin{bmatrix}0.5&-0.1&0.7\\0.1&0.5&-0.5\\-0.7&0.5&0.5\\-0.5&-0.7&-0.1\end{bmatrix}}$

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja Matrika 4×4

$Q={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

predstavlja izoklinsko vrtenje, Matrika 5×5

$Q={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}$

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave

• Matrika vrtenja na MathWorld (angleško)
• Matrika vrtenja (značilnosti) (angleško)
• Matrika vrtenja na Citizendium (angleško)
• Matrika vrtenja na MathPages (angleško)