Odpre glavni meni

Determinanta je preslikava, ki kvadratni matriki priredi število. Vsaki determinanti pripada število(ki ga lahko izračunamo iz elementov), matriki pa ne moremo pripisati nekega števila. Posameznim vrednostim (lahko so realne ali kompleksne) v determinanti pravimo elementi determinante. V matriki in v determinanti so posamezni elementi razporejeni v vrstice (vodoravno) in stolpce (navpično).

Determinanto označujemo z dvema navpičnima črtama med kateri podobno kot pri matriki vpišemo elemente v vrstice in stolpce.

Vsaki determinanti lahko pripišemo tudi red, ki je enak razsežnosti pripadajoče matrike. Tako matriki reda 2 lahko pripišemo determinanto reda 2 (običajno to zapišemo kot ) in tako naprej (primer za splošno obliko uporabimo ).

Determinanto matrike označujemo kot ali poenostavljeno tudi . Kadar pa hočemo vpisati vse elemente determinante, lahko označimo determinanto z dvema navpičnima črtama, pripadajočo matriko pa označujemo z oglatima oklepajema.

Tako determinanta tretjega reda

pripada matriki (tretjega reda)

Splošno obliko determinante pa zapišemo kot

kjer je z označen element v vrstici x in stolpcu y.

ZgodovinaUredi

 
Takakazu Šinsuke Seki je uvedel determinante reda 3 in 4, v istem obdobju kot Gottfried Wilhelm Leibniz

Determinante so se pojavile v 16. stoletju, kar je precej pred pojavom matrik v 19. soletju. Prva uporaba determinant je povezana s sistemom linearnih enečb. Vpeljal jih je italijanski matematik, astronom, zdravnik, filozof, fizik, astrolog in kockar Gerolamo Cardano (1501 – 1576) v letu 1545. Uporabljal je determinante drugega reda za določanje rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Približno ob istem času sta jih pričela uporablajti tudi japonski matematik Takakazu Šinsuke Seki (znan tudi kot Kova Seki) in nemški filozof, matematik, fizik, pravnik, zgodovinar, jezikoslovec, knjižničar in diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Prvi je uporabil izraz determinanta francoski matematik Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857).

Določanje vrednosti determinantUredi

Determinanta  Uredi

Matriki  

 

pripada determinanta

 .
 
Ploščina paralelograma je absolutna vrednost determinante matrike, ki jo dajo vektorji, ki predstavljajo stranice paralelograma.

Površina paralelogramaUredi

Matrika 2x2

 

ima determinanto

 .

Determinanto   lahko gledamo kot paralelogram z vrhovi na točkah  ,  ,   in  .

 
Prostornina paralelepipeda je absolutna vrednost determinante matrike s stranicami r1, r2, in r3.

Determinanta  Uredi

Matrika  

 

ima determinanto, ki se izračuna kot

 

Vrednost determinante   lahko določimo s pomočjo Sarrusovega pravila.

Lastnosti determinantUredi

 
To je zmnožek vseh elementov v diagonali matrike.
  • Kadar je matrika   nastala iz matrike   z zamenjavo dveh vrstic ali stolpcev, velja
 
  • Kadar je matrika   nastala iz matrike   tako, da smo pomnožili vse elemente v vrstici ali vse elemente v stolpcu c konstanto   velja
 

Kadar pa je matrika pomnožena s skalarjem

 
  • Kadar je matrika   nastala iz matrike   tako, da smo dodali s konstanto pomnoženo vrstico ali stolpec drugi vrstici ali stolpcu je:
 
  • Determinanta reda 1 vsebuje samo en element. Takšna determinanta ima vrednost
 
  • Determinanta   (reda 2) se izračuna kot
 
  • Determinanta višjih redov (npr. reda  ) pa običajno določamo z uporabo Laplaceovega obrazca z razvojem po vrstici ali razvojem po stolpcu (glej Določanje vrednosti splošne determinante spodaj).

Določanje vrednosti splošne determinanteUredi

Za izračunavanje vrednosti determinante uporabljamo Laplaceov obrazec, ki je primeren za računanje vrednosti determinant višjih redov. Determinanto lahko razvijemo po poljubni vrstici ali poljubnem stolpcu.

Razvoj determinante po j-ti vrstici

  (za vse j od 1 do n)

Razvoj po i-tem stolpcu

  (za vse i od 1 do n)

kjer je

  •   podteterminanta elementa  
  •   podteterminanta elementa  

Podteterminanto (tudi minor) ( ), ki pripada elementu   dobimo tako, da v matriki izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Zmnožek   se imenuje tudi kofaktor elementa  . Razvoj determinanteje skalarni produkt elementov vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji.

Ostale lastnostiUredi

  • Determinanta
 
Ima vrednost 1 tudi, ko je n= 0 in celo, če je matrika prazna
  • Determinanta zmnožka dveh kvadratnih matrik je enaka zmnožku determinant posameznih matrik
 
  • Kadar vrednost determinante, ki pripada matriki   ni enaka 0, velja tudi
 
  • Če sta matriki A in B podobni matriki in če obstoja takšna obratna matrika (nesingularna) matrika   za katero velja  
potem je
 
 

Determinanta in matrikeUredi

Kadar so  ,  ,   matrike, ki imajo po vrsti razsežnosti  ,  ,   in  , potem je:

 

Kadar obstoja obratna matrika matrike   velja tudi

 

Kadar pa obstoja obratna matrika matrike  , pa velja

  [1]

Velja tudi naslednje:[2]

Kadar matriki   in   komutirata (to je  ), je

 

Kadar matriki   in   komutirata (to je  , je tudi

 

Kadar matriki   in   komutirata (to je  , je tudi

 .

Odnos do slediUredi

Sled je vsota elementov matrike na diagonali. S tem je sled enaka tudi lastnim vrednostim

 

kjer je

  •   potenca matrike  

Iz tega sledi, da se za različne matrike z razsežnostjo   dobi determinante  

 
 
 
 
 
 
 
 

OdvodUredi

Za določanje odvoda se uporablja Jacobijev obrazec:

 

kjer je

  •   adjungirana matrika matrike  
  •   sled matrike

Če je matrika   obrnljiva, dobimo

 

Če izrazimo odvod z elementi matrike  , velja tudi

 

Če matriko   zapišemo kot   kjer so   vektorji, potem je gradient po enem izmed teh vektorjev enak vektorskemu produktu drugih dveh:

 .

Opombe in skliciUredi

Zunanje povezaveUredi