Obratna matrika

Obratna matrika (oznaka za matriko ) (tudi inverzna matrika ali nesingularna matrika ali nedegenerirana) neke kvadratne matrike je takšna matrika, ki pri množenju z matriko daje enotsko matriko:

kjer je:

  • enotska matrika reda n (razsežnosti )
  • obratna matrika matrike .

Velja tudi:

Matrike, ki imajo obratno matriko, so obrnljive. Matrika je obrnljiva samo, če je nesingularna. Nekvadratne matrike nimajo obratne matrike (). V nekaterih primerih se lahko določi levo in desno obratno matriko. Kadar ima matrika razsežnost in je njen rang enak , potem ima matrika levo obratno matriko, tako da velja , in ima matrika razsežnost . Kadar pa ima matrika rang enak , potem ima desno obratno matriko z , tako da je .

Značilnosti obratne matrikeUredi

  •  
kjer je:
  determinanta matrike  
  •   za poljubni dve obrnljivi matriki   in  
  •  
kjer je:
  transponirana matrika
  •   za poljubni koeficient  
  •  
  •   za poljubni od nič različni skalar  
  •  
  • za obrnljivi matriki   in   z   velja:
 . Bolj splošno se lahko tudi napiše, če so   obrnljive   matrike, potem je  
  •  

Določanje obratne matrikeUredi

Cramerjevo praviloUredi

Glavni članek: Cramerjevo pravilo.

Za določitev obratne matrike se najprej napiše matriko kofaktorjev (adjungirana matrika):

 

kjer je:

  •   determinanta matrike  
  •   elementi matrike kofaktorjev
  •   transponirana matrika

Gauss-Jordanova eliminacijaUredi

Gauss-Jordanova eliminacija omogoča ugotoviti, če je neka matrika obrnljiva in določiti tudi obratno matriko. Uporablja se samo za kvadratne matrike. V postopku se najprej dano matriko poveča z enotsko matriko istega reda (dobi se obliko  ). Nato se z enostavnimi matričnimi operacijami matriko privede v obliko   (na levi strani je enotska matrika, na desni pa obratna matrika prvotne). Obratno matriko se prebere na desni strani nastale matrike. Podobna metoda se uporablja tudi za reševanje sistema linearnih enačb (Gaussova eliminacijska metoda).

Obratna matrika matrike  Uredi

Obratno matriko matrike z razsežnostjo  se lahko dobi na naslednji način:

 

Obratna matrika matrike  Uredi

Obratno matriko v primeru, da se obravnava matriko z razsežnostjo   pa se dobi iz:

 

kjer je:

  •   determinanta dane matrike

Če je   različen od 0, je matrika obrnljiva in ima naslednje elemente (glej zgoraj):

 

Zunanje povezaveUredi

  • Stover, Christopher; Weisstein, Eric Wolfgang. "Matrix Inverse". MathWorld (angleščina).CS1 vzdrževanje: Večkratna imena: authors list (link)