Ortogonalna matrika (oznaka
Q
{\displaystyle Q\,}
kvadratna matrika z realnimi elementi, katere vrstice in stolpci so medsebojno pravokotni enotski vektorji (ortonormalni vektorji). Ortogonalne matrike so realna oblika unitarnih matrik . Zaradi tega spadajo med normalne matrike .
Ortogonalna matrika je tista, ki pri množenju z transponirano matriko da enotsko matriko . To lahko zapišemo kot
A
A
T
=
A
T
A
=
I
{\displaystyle AA^{T}=A^{T}A=I\,}
To je enakovredno
A
−
1
=
A
T
{\displaystyle \!A^{-1}=A^{T}\,}
Množica ortogonalnih matrik z razsežnostjo
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
grupo , ki jo označujemo z
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)\,}
ortogonalna grupa . Njena podgrupa
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)\,}
determinanto
+
1
{\displaystyle +1\,}
specialna ortogonalna grupa , njeni elementi pa specialne ortogonalne matrike .
[
1
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}
[
0
,
96
−
0
,
28
0
,
28
0
,
96
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0,96&-0,28\\0,28&\;\;\,0,96\\\end{bmatrix}}}
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\,}
permutiranje koordinatnih osi
[
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
∑
i
A
i
j
A
i
k
=
δ
j
k
{\displaystyle \!\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}
in
∑
i
A
j
i
A
k
i
=
δ
j
k
{\displaystyle \!\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}
kjer je
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}}
δ
j
k
{\displaystyle \delta _{jk}\,}
Kroneckerjeva delta Determinanta ortogonalne matrike je enaka
±
1
{\displaystyle \pm 1\,}
Najbolj preprosti sta ortogonalni matriki
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1\,}
[
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\\end{bmatrix}}\,}
[
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1\\\end{bmatrix}}\,}
premice preko izhodišča .
Matrike
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2\,}
[
p
t
q
u
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},}
Zadoščajo pa pogojem
1
=
p
2
+
q
2
,
1
=
t
2
+
u
2
,
0
=
p
t
+
q
u
.
{\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+q^{2},\\1&=t^{2}+u^{2},\\0&=pt+qu.\end{aligned}}}
Če v prvo enačbo brez izgube splošnosti vstavimo
p
=
c
o
s
θ
{\displaystyle p=cos\theta \,}
q
=
s
i
n
θ
{\displaystyle q=sin\theta \,}
t
=
−
q
{\displaystyle t=-q\,}
u
=
p
{\displaystyle u=p\,}
t
=
q
{\displaystyle t=q\,}
u
=
−
p
{\displaystyle u=-p\,}
θ
{\displaystyle \theta \,}
θ
/
2
{\displaystyle \theta /2\,}
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
(vrtenje),
[
cos
2
θ
sin
2
θ
sin
2
θ
−
cos
2
θ
]
(zrcaljenje)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (vrtenje), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (zrcaljenje)}}}
Ne glede na razsežnost pa lahko ortogonalne matrike obravnavamo kot čisto vrtenje ali pa tudi ne, čeprav so nerotacijske matrike z večjo razsežnostjo lahko precej zapletene.
Na primer matrika
[
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\,}
predstavlja inverzijo preko koordinatnega izhodišča .
Matrika
[
0
−
1
0
1
0
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}
pa pomeni vrtenje z inverzijo okoli osi z .
