Transponirana matrika (oznaka
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,}
t
A
{\displaystyle ^{\operatorname {t} }\!A}
A
{\displaystyle A\,}
zapišemo vrstice matrike
A
{\displaystyle A\,}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,}
zapišemo stolpce matrike
A
{\displaystyle A\,}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,}
zrcalimo matriko
A
{\displaystyle A\,}
glavne diagonale
zavrtimo matriko
A
{\displaystyle A\,}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,}
To pomeni da vsi
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
a
j
i
{\displaystyle a_{ji}\,}
transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije .
[
1
2
]
T
=
[
1
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\,}
[
1
2
3
4
]
T
=
[
1
3
2
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\,}
[
1
2
3
4
5
6
]
T
=
[
1
3
5
2
4
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;\,}
Za matriki
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
skalar
c
{\displaystyle c\,}
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}
Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika
A
{\displaystyle A\,}
obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi
A
T
{\displaystyle A^{T}\,}
(
A
−
1
)
T
=
(
A
T
)
−
1
{\displaystyle (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\,}
(
c
A
)
T
=
c
A
T
{\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
Transponiranje skalarja nam da isti skalar.
det
(
A
T
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,}
Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca (
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
a
⋅
b
=
a
T
b
,
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,}
kjer je uporabljen Einsteinov zapis za
a
j
b
j
{\displaystyle a_{j}b^{j}\,}
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}
Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike. Če je
A
{\displaystyle A\,}
lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike. Posebne transponirane matrike
uredi
A
T
=
A
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .\,}
Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika . To pomeni da je matrika
G
{\displaystyle G\,}
G
G
T
=
G
T
G
=
I
n
,
{\displaystyle \mathbf {GG} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {G} ^{\mathrm {T} }\mathbf {G} =\mathbf {I} _{n},\,}
I
n
{\displaystyle I_{n}\,}
enotska matrika za katero velja
I
T
=
I
−
1
{\displaystyle I^{T}=I^{-1}\,}
Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika , to pomeni, da je
A
{\displaystyle A\,}
A
T
=
−
A
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} .\,}
A
∗
=
(
A
¯
)
T
=
(
A
T
)
¯
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}.}
