Transponirana matrika

Transponirana matrika (oznaka , včasih tudi ) je matrika, ki nastane iz matrike pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij:

  • zapišemo vrstice matrike kot stolpce matrike
  • zapišemo stolpce matrike kot vrstice matrike
  • zrcalimo matriko preko glavne diagonale
  • zavrtimo matriko za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo .

To pomeni da vsi postanejo . Postopek zamenjave vrstic in stolpcev se imenuje transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije.

ZglediUredi

  •  
  •  
  •  

ZnačilnostiUredi

Za matriki  ,   in skalar   so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:

  •  
  •  
Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.
  •  
Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika   obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi  , v tem primeru je  
  •  
Transponiranje skalarja nam da isti skalar.
  •  
Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.
  • Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca (  in  ) se izračuna kot
 
kjer je uporabljen Einsteinov zapis za  
  •  
Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.
  • Če je   kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.

Posebne transponirane matrikeUredi

 
  • Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni da je matrika   ortogonalna, če je
 , kjer je   enotska matrika za katero velja  
  • Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je   poševnosimetrična, če je
 
 

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Transpose". MathWorld (angleščina).