Kroneckerjev produkt

Kroneckerjev produkt (oznaka ) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

DefinicijaUredi

Naj bo   matrika z razsežnostjo   in naj bo   z razsežnostjo  , potem je Kroneckerjev produkt   bločna matrika z razsežnostjo  :

 .

Bolj točno je to enako:

 .

Če sta   in   linearni transformaciji   in  , potem je   tenzorski produkt dveh preslikav  .

ZglediUredi

 .
 
 .

ZnačilnostiUredi

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

  •  
  •  
  •  
  •  .

kjer je

    •   matrika
    •   matrika
    •   matrika
    •   skalar

KomutativnostUredi

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki   in   različni. To se zapiše kot : . Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki   in   tako, da je:

 .

Č e pa sta matriki   in   kvadratni, potem sta   ali pa   permutacijsko podobni, kar pomeni, da je  .

Mešani produktUredi

Če so matrike  ,  ,   in   takšne, da se lahko določi   in  , potem velja tudi:

 .

TransponiranjeUredi

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

 .

Druge značilnostiUredi

 .
 
  • sled je za kvadratne matrike enaka:
 
 
  • če ima matrika   razsežnost   in matrika   razsežnost  , potem za determinanto velja:
 
  • če so   lastne vrednosti matrike   in   lastne vrednosti matrike  , potem so:
  lastne vrednosti matrike  
  • kadar sta matriki   in   obrnljivi velja tudi:
 
  • kadar imajo matrike   in   razsežnosti:
    •  
    •  
    •  
    •  

in sta matriki   in   definirani, potem velja[1]

 

SkliciUredi

  1. Steeb (1991), str. 16.

ViriUredi

  • Steeb, Willi-Hans (1991), Kronecker Product of Matrices and Applications, Mannheim ; Wien ; Zürich: BI-Wiss.Verlag, ISBN 3-411-14811-X

Zunanje povezaveUredi