Tenzorski produkt

Tenzorski produkt (oznaka ) se uporablja na zelo različnih področjih povezanih z vektorji, matrikami, tenzorji, algebrami in topološkimi vektorskimi prostori. V vseh primerih pa pomeni bilinearno operacijo. Tenzorski produkt ni komutativen.

TenzorjiUredi

Tenzorji so definirani tako, da jim lahko pripišemo določeno število indeksov. Indeksi so lahko kovariantni (pišemo jih spodaj) ali kontravariantni (pišemo jih zgoraj). Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja (rang tenzorja), ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor. Tenzorji z redom 0 so skalarji, tisti, ki imajo red 1, so vektorji. Vse količine, ki imajo red večji ali enak 2, pa na splošno imenujemo kar tenzorji.

Tenzorski produkt vektorskih prostorovUredi

Tenzorski produkt   dveh vektorskih prostorov   in   nad obsegom   se lahko definira z metodo generatorjev in relacij. S tenzorskim produktom dveh vektorskih prostorov dobimo nov vektorski prostor, ki ima razsežnost enako zmnožku razsežnosti posameznih vektorskih prostorov. Podobno dobimo z množenjem celih števil novo celo število.

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 1 (vektorji)Uredi

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 1, ki jih imenujemo vektorji, se določijo posamezne komponente na naslednji način

 .

Za vrednosti   je to enako

 
 .

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 2 (matrike)Uredi

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 2, ki so matrike, se določijo posamezne komponente takole

 

Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot

 

kjer je

Tenzorski produkt dveh tenzorjevUredi

Če sta   in   dva kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak

 .

To pa pomeni, da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja.

Zgled: Naj bo   tenzor tipa (1,1) s komponentami   in   naj bo tenzor tipa (1, 0) s komponentami  . Potem je

  in
 .

Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako, kot jih imajo posamezni faktorji.

Kroneckerjev produktUredi

Glavni članek: Kroneckerjev produkt.

Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt.

Primer:

 

Tenzorski produkt dveh matrik   pa je:

 .

Tenzorski produkt multilinearne preslikaveUredi

Če imamo dve multilinearni preslikavi   in   je njun tenzorski produkt multilinearna funkcija

 .

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Tensor Product". MathWorld (angleščina).
  • Tenzorski produkt na PlanethMath (angleško)
  • Tenzorski produkt vektorskih prostorov (angleško)
  • Površine tenzorskega produkta (angleško)
  • Tenzorske operacije (angleško)