Eksponent matrike

Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je $X\,$ realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo $n\times n\,$, potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z $e^{X}\,$ ali $\exp(X)\,$ in je enaka

$e^{\mathbf {X} }=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}\mathbf {X} ^{k}\,$.

Lastnosti

Če sta $X\,$ in $Y\,$ kompleksni matriki z razsežnostjo $n\times n\,$ in sta $a\,$ in $b\,$ poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ($I\,$ je enotska matrika):

• e⁰ = I.
• e^aX e^bX = e^{(a + b)X}.
• e^Xe^−X = I.
• če je XY = YX potem je e^Xe^Y = e^Ye^X = e^(X + Y).
• Če je Y obrnljiva potem je e^YXY−1 = Y e^XY⁻¹.
• exp(X^T) = (exp X)^T, kjer X^T pomeni transponirana matrika matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X simetrična tudi e^X simetrična in, če je X poševnosimetrična potem je e^X ortogonalna.
• exp(X*) = (exp X)*, kjer pa X* pomeni konjugirano transponirano matriko matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X Hermitska matrika tudi e^X Hermitska matrika in, če je X poševnohermitska matrika (antihermitska), potem je e^X unitarna matrika.

Določanje vrednosti matričnih eksponentov

V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:

Diagonalna matrika

Kadar je matrika diagonalna

$A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},$ izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali

$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika $A\,$ takšna, da velja $A=UDU^{-1}\,$ in je $D\,$ diagonalna matrika, potem velja $e^{A}=Ue^{D}Ue^{-1}\,$.

Nilpotentnost

Matrika $N\,$ je nilpotentna, če velja $N^{q}=0\,$ za poljubno celo število $q\,$. V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov

$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}.$.

Uporaba

V linearnih diferencialnih enačbah

Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe

$\mathbf {y} '=C\mathbf {y}$

ima rešitev e^Cty(0).

Če vzamemo vektor

$\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}$

potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot

$\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$.

To nam pa da

$e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} =e^{-At}\mathbf {b}$

$e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} =e^{-At}\mathbf {b}$

${\frac {d}{dt}}(e^{-At}\mathbf {y} )=e^{-At}\mathbf {b} .$

Glej tudi

• matrična funkcija
• logaritem matrike

Zunanje povezave

• Eksponent matrike na MathWorld (angleško)
• Eksponent matrike na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Eksponent matrike (angleško)