Unitarna matrika

Unitarna matrika (oznaka $U\,$ ) je kompleksna matrika za katero velja

U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}\,

kjer je

Matrika $U\,$ je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani $U^{\dagger }\,$

U^{-1}=U^{\dagger }\,\;

.

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Lastnosti

Unitarne matrike lahko diagonaliziramo.

Množica unitarnih matrik reda $n\,$ sestavlja unitarno grupo (oznaka $U(n)\,$ ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki jo označujemo z $SU(n)\,$ . Grupi $SU(2)\,$ in $SU(3)\,$ igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1

{\begin{aligned}1&=\det(I)=\det(UU^{*})=\det(U)\cdot \det(U^{*})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}}^{T})\\&=\det(U)\cdot \det({\overline {U}})=\det(U)\cdot {\overline {\det(U)}}=|\det(U)|^{2}.\end{aligned}}

.

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika

\left(UV\right)^{-1}=V^{-1}U^{-1}={\overline {V}}^{T}{\overline {U}}^{T}=\left({\overline {UV}}\right)^{T}.

Stolpci unitarne matrike $A\,$ tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.