Diagonalna matrika

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko $D\,$ z elementi $d_{ij}\,$ to pomeni

d_{i,j}=0{\mbox{ kadar je }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}.

.

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

a_{ij}=a_{i}\delta _{ij}\,

,

kjer je

$\delta _{ij}\,$ Kroneckerjeva delta.

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

D=\mathrm {diag} (d_{11},d_{22,}\dots ,d_{nn})={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{bmatrix}}

.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Primeri

Primer diagonalne matrike

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

~0=\mathrm {diag} \,\{0,0,\dots ,0\}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}},

ter enotska matrika

E=\mathrm {diag} \,\{1,1,\dots ,1\}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},

Lastnosti

Diagonalna matrika je simetrična, ker zanjo velja

D^{T}=D\,

.

Rang diagonalne matrike je enak številu neničelnih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali
Determinanta diagonalne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali.