Diagonalizabilna matrika

Diagonalizabilna matrika je matrika, ki je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati takšna obrnljiva matrika $P\,$, da je matrika $P^{-1}AP\,$ diagonalna matrika.

Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko imenujemo diagonalizacija.

Diagonalne matrike so zanimive zato, ker je delo z njimi zelo enostavno. Njihove lastne vrednosti in vektorji so znani in potenco matrike izračunamo tako, da potenciramo diagonalne elemente.

Lastnosti

Matrika $A\,$ z razsežnostjo $n\times n\,$ je diagonalizabilna nad obsegom $F\,$, če in samo, če je vsota razsežnost lastnih prostorov enaka $n\,$.

Diagonalizacija

Kadar je matrika $A\,$ diagonalizabilna, to pomeni, da velja

$P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\,$

V tem primeru je

$AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\,$

Če pišemo $P\,$ kot bločno matriko s vrstičnimi vektorji

$P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}},$,

potem lahko pišemo zgornjo enačbo kot

$A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n)\,$.

Iz tega vidimo, da so stolpični vektorji matrike $P\,$ lastni vektorji matrike $A\,$, pripadajoče diagonalne vrednosti pa so lastne vrednosti.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Diagonalizabilna matrika na MathWorld (angleško)
• Diagonalizabilna matrika Arhivirano 2011-03-10 na Wayback Machine. (angleško)