Poševnosimetrična matrika

Poševnosimetrična matrika (tudi antisimetrična matrika) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^{T}=-A\!\,,$

kjer je:

• $A^{T}\,$ transponirana matrika matrike $A\,$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{ij}=-a_{ji}\qquad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}\!\,,$

kjer je:

• $a_{ij}\,$ element matrike $A\,$

Zgledi

${\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad {\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{pmatrix}}\!\,.$

Značilnosti

• rang poševnosimetrične matrike je vedno sodo število.

Determinanta poševnosimetrične matrike

Če ima matrika $A\,$ razsežnost $n\times n\,$ sta pri izračunu determinante dve možnosti:

• $n\,$ je neparno število

$det(A)=det(A^{T})=det(-A)=(-1)^{n}det(A)\,$

kar pomeni, da je $det(A)=0\,$. Ta rezultat se imenuje Jakobijevo pravilo (po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju (1804 – 1851)).

• $n\,$ je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike $A\,$ pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike $A\,$

to je

$det(A)={Pf(A)}^{2}\,$

kjer je

• $Pf(A)\,$ Pfaffova determinanta (pfafian) (ime ima po nemškem matematiku Johanu Friedrichu Pfaffu (1765 – 1825)) matrike $A\,$, ki se izračuna kot ${\mbox{Pf(A)}}=\pm {\sqrt {\mbox{det(A)}}}$. Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.

Glej tudi

• simetrična matrika
• seznam vrst matrik