Paretova porazdelitev

Paretova porazdelitev [parétova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po italijanskem ekonomistu in sociologu Vilfredu Paretu (1848–1923). Uporablja se na področju socialnih, geofizikalnih in zavarovalniških ved. Zunaj ekonomskih ved se pogosto imenuje tudi Bradfordova porazdelitev.

Paretova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev z xm=1.
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev.
oznaka	$Pareto(x_{m},k)\!$
parametri	$x_{\mathrm {m} }>0\,$ parameter merila (realno število) $k>0\,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}{\text{ za }}x>x_{m}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!$
pričakovana vrednost	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}{\text{ za }}k>1\,$
mediana	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}$
modus	$x_{\mathrm {m} }\,$
varianca	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}{\text{ za }}k>2\,$
simetrija	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}{\text{ za }}k>3\,$
sploščenost	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}{\text{ }}k>4\,$
entropija	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$k(-x_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ za}}t<0\,$
karakteristična funkcija	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

Definicija

Če je X slučajna spremenljivka, ki se podreja Paretovi porazdelitvi, potem je verjetnost, da bo zavzela vrednost večjo od x enaka:

$P(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}&{\text{za }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{za }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

kjer je

• $x_{m}\!$ minimalna vrednost, ki jo lahko zavzame slučajna spremenljivka X
• $k\!$ pa je pozitivno celo število.

Uporaba

Paretova porazdelitev se uporablja na mnogih področjih :

• velikost ljudskih naselbin (mesta, vasi)
• velikost datotek, ki uporabljajo TCP (Transmission Control Protocol) protokol na internetu (veliko manjših datotek, malo velikih).
• skupine delcev v Bose-Einsteinovem kondenzatu blizu absolutne ničle.
• velikost delcev peska
• velikost meteoritov
• pogorela področja v gozdnih požarih

itd.

Značilnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev je

$f_{X}(x)={\begin{cases}k\,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}&{\text{za }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{za }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}&{\text{za }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&{\text{za }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}{\text{ za }}k>1\,$.

Varianca

Varianca je enaka

${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}{\text{ za }}k>2\,$.

Sploščenost

Sploščenost je

${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}{\text{ za }}k>4\,$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}{\text{ za }}k>3\,$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$k(-x_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ za}}t<0\,$

kjer je

• $\Gamma (a,x)\!$ nepopolna funkcija gama.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

kjer je

• $\Gamma (a,x)\!$ nepopolna funkcija gama.

Povezava z Diracovo delta funkcijo

Ko je $k\to \infty \!$, se porazdelitev približuje vrednosti $\delta (x-x_{m})\!$, kjer je $\delta \,$ Diracova funkcija delta.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $X\!$ naj bo porazdeljena po Paretovi porazdelitvi s parametroma $x_{m}\!$ in $\alpha \!$ tako, da velja

$Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right).$.

V tem primeru je slučajna spremenljivka $Y\!$ porazdeljena po eksponentni porazdelitvi tako, da je verjetnost, da bo spremenljivka Y zavzela vrednost večjo od y enaka

$P(Y>y)=e^{-ky}.\,$

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Pareto Distribution«. MathWorld.
• Opis Paretove porazdelitve (angleško)
• Modeliranje porazdelitve premoženja (slovensko)