Verjetnost

Članki iz niza gotovost:
agnosticizem aproksimacija determinizem epistemologija gotovost nedoločenost negotovost nihilizem verjetnost zaupanje zmotnost
To polje: prikaži • pogovor • uredi • zgodovina

Verjétnost je število, ki pove, kolikšna je možnost, da se zgodi nek dogodek. Verjetnost je temeljni pojem matematične panoge, ki se imenuje verjetnostni račun.

Verjetnost dogodka $A$ se označi s $P(A)$ . Črka $P$ izvira iz latinščine probabilitas – verjetnost.

Definicija verjetnosti

Obstaja več matematičnih definicij verjetnosti.

Klasična definicija

Naj je verjetnostni poskus, ki ima $n$ med seboj enakovrednih izidov (enakovrednost izidov pomeni, da se vsi izidi pojavijo približno enako pogosto, če se poskus ponovi večkrat). Opazuje se dogodek $A$ , za katerega je ugodnih $m$ izidov. Po klasični definiciji je verjetnost dogodka $A$ razmerje med številom ugodnih izidov in številom vseh možnih izidov:

P(A)={\frac {m}{n}}={\frac {\rm {{\check {s}}tevilo~ugodnih~izidov}}{\rm {{\check {s}}tevilo~vseh~izidov}}}\!\,.

Zgled: v nekem mestu živi 6850 prebivalcev. Trenutno je v tem mestu 822 prebivalcev okuženih z virusom gripe. Kolikšna je verjetnost, da je na slepo izbrani prebivalec tega mesta okužen z virusom gripe?

P(A)={\frac {822}{6850}}\!\,.

Rezultat se po navadi še okrajša, ali pa se ga zapiše v decimalni obliki ali v obliki procentov:

P(A)={\frac {822}{6850}}={\frac {3}{25}}=0.12=12\ \%\!\,.

Definicija s teorijo mere – Geometrijska verjetnost

V danem verjetnostnem poskusu naj je definirana mera, s katero se meri obsežnost dogodkov. Verjetnost dogodka $A$ je potem razmerje med mero dogodka $A$ in mero celotne množice vseh možnih izidov.

To definicijo se uporablja zlasti, kadar se ima opravka z dogodki, ki imajo neskončno mnogo izidov, in zato računanje verjetnosti po klasični definiciji ni možno.

Zgled:

Poskus naj bo izbiranje naključnega realnega števila z intervala $[10,20]$
$A$ je dogodek, da je izbrano število večje od 17.5.
Za mero se seveda vzame kar širino intervala.
Verjetnost dogodka $A$ je potem enaka:

P(A)={\frac {2,5}{10}}={\frac {1}{4}}=25\ \%\!\,.

Statistična definicija

Za statistično obdelavo je treba poskus ponoviti zelo velikokrat. Pri tem se računa kolikokrat se dogodek $A$ zgodi (to je frekvenca dogodka $A$ ). Verjetnost dogodka $A$ je število, h kateremu konvergira relativna frekvenca dogodka $A$ , ko se število ponovitev poskusa veča proti neskončno.

Značilnosti verjetnosti

Za dodatno razlago glej tudi: dogodek.

Verjetnost poljubnega dogodka je vedno večja ali enaka 0 in vedno manjša ali enaka 1:

P(A)\in [0,1]\!\,.

Verjetnost dogodka $A$ in verjetnost nasprotnega dogodka ${\overline {A}}$ imata vsoto 1:

P(A)+P({\overline {A}})=1\!\,.

Verjetnost unije nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti obeh verjetnosti:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)\!\,.

Verjetnost unije dveh poljubnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\!\,.

Verjetnost preseka (produkta) neodvisnih dogodkov je enaka produktu obeh verjetnosti:

P(AB)=P(A)P(B)\!\,.

Verjetnost preseka (produkta) odvisnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

P(AB)=P(A)P(B/A)\!\,.

V zadnji formuli $P(B/A)$ pomeni pogojno verjetnost za dogodek $B$ pri pogoju, da se je pred tem že zgodil dogodek $A$ . Dogodka sta odvisna, če dejstvo, da se je dogodek $A$ že zgodil, vpliva na verjetnost dogodka $B$ . Če dogodek $A$ ne vpliva na dogodek $B$ , potem sta neodvisna.