Porazdelitev delta

Porazdelítev délta, pogosto imenovana tudi fúnkcija délta ali Diracova (porazdelítvena) fúnkcija (oznaka δ(x)), je v matematiki posplošena funkcija, definirana tako, da velja δ(x)dx = 1, kadar interval dx vsebuje točko 0, in δ(x)dx = 0, kadar je ne.

Shematični prikaz porazdelitve delta z daljico opremljeno s puščico. Višina puščice običajno pomeni vrednosti poljubne multiplikativne konstante, ki bo dala ploščino pod funkcijo. Drug dogovor je, da se ploščina napiše poleg glave puščice.

Porazdelitev delta kot limita (v smislu porazdelitev) zaporedja ničelno usredinjenih normalnih porazdelitev $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-(x/a)^{2}}$ ko gre $a\rightarrow 0$.

Porazdelitev delta se lahko definira z več enakovrednimi limitnimi procesi, med njimi:

$\delta (x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$

$\delta (x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\epsilon |x|^{\epsilon -1}$

$\delta (x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)$

Pripadajoča zbirna porazdelitvena funkcija je znana kot Heavisidova skočna funkcija:

$\Theta (x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (x)\,\mathrm {d} x\!\,.$

Funkcijo je poznal že Gustav Robert Kirchhoff in jo je vpeljal leta 1880 v svojih predavanjih iz optike kot funkcijo ζ.

Glej tudi

• izrojena porazdelitev

Viri

• Kuščer, Ivan; Kodre, Alojz (1994), Matematika v fiziki in tehniki, Ljubljana: DMFA, str. 272–3, COBISS 41287936, ISBN 961-212-033-1
• Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, COBISS 229576192, ISBN 86-365-0587-9