Logaritemska logistična porazdelitev

Logaritemsko logistična porazdelitev (tudi Fiskova porazdelitev ali log-logistična porazdelitev) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema ali tremi parametri.

Logaritemska logistična porazdelitev (nepremaknjena)
Funkcija gostote verjetnosti za nepremaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za nepremaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.
oznaka	$LL(\alpha ,\beta )\!$
parametri	$\alpha >0\!$ parameter merila $\beta >0\!$ parameter oblike
interval	$x\in [0,\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left[1+(x/\alpha )^{\beta }\right]^{2}}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}$
pričakovana vrednost	${\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}$ kadar je $\beta >1\!$, v ostalih primerih je nedefinirana
mediana	$\alpha \,$
modus	$\alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }$ če je $\beta >1\!$, oziroma $0\!$ v ostalih primerih
varianca	(glej opis lastnosti)
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Porazdelitev uporabljamo v dveh variantah:

• po prvi varianti je to nepremaknjena dvoparametrična porazdelitev (parametra: merilo in oblika)
• po drugi varianti je to premaknjena triparametrična porazdelitev (premaknjena, ker jo določa ob parametru merila in oblike še parameter lokacije)

Za logaritemsko logistično porazdelitev je značilno, da je to verjetnostna porazdelitev slučajne spremenljivke katere logaritem ima logistično porazdelitev. Po obliki je podobna logaritemsko normalni porazdelitvi.

Uporaba

Logaritemsko logistična porazdelitev se uporablja v

• analizi preživetja kot model za dogodke, katerih število najprej raste, pozneje pa pada.
• hidrologiji, kjer s to porazdelitvijo modeliramo povezavo med pretoki in padavinami
• ekonomiji za modeliranje porazdelitve bogastva.

Lastnosti nepremaknjene porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko logistične porazdelitve je

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left[1+(x/\alpha )^{\beta }\right]^{2}}}.$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}$

kjer je

• $x>0\!$, $\alpha >0\!$, $\beta >0\!$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

${\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}$ za $\beta >1\!$,
v ostalih primerih je nedefinirana

Varianca

Varianca je

$\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar ima slučajna spremenljivka $X\!$ logaritemsko logistično porazdelitev s parametrom merila $\alpha \!$ in parametrom oblike $\beta \!$, potem ima slučajna spremenljivka $Y=\log(X)\!$ logistično porazdelitev s parametrom lokacije enakim $\log(\alpha )\!$ in parametrom merila enakim $\beta \!$.

Logaritemska logistična porazdelitev (premaknjena)
Funkcija gostote verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.
parametri	$\mu \in (-\infty ,+\infty )\,$ parameter lokacije (realno število) $\sigma \in (0,+\infty )\,$ parameter merila (realno število) $\xi \in (-\infty ,+\infty )\,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\geqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi >0)$ $x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$ $x\in (-\infty ,+\infty )\,\;(\xi =0)$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{2}}}$ kjer je $z=(x-\mu )/\sigma \,$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{-1}\,$ kjer je $z=(x-\mu )/\sigma \,$
pričakovana vrednost	$\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}(\alpha \csc(\alpha )-1)$ kjer je$\alpha =\pi \xi \,$
mediana	$\mu \,$
modus
varianca	${\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}[2\alpha \csc(2\alpha )-(\alpha \csc(\alpha ))^{2}]$ kjer je $\alpha =\pi \xi \,$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Lastnosti premaknjene logaritemske logistične porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev je

${\frac {(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{2}}}$
.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\right)^{-1}\,$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

$\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}(\alpha \csc(\alpha )-1)$

Varianca

Varianca je

${\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}[2\alpha \csc(2\alpha )-(\alpha \csc(\alpha ))^{2}]$

kjer je $\alpha =\pi \xi \,$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\mu =\sigma /\xi \!$ postane premaknjena logaritemska porazdelitev enaka logaritemski logistični porazdelitvi.
• Če gre $\xi \to 0\!$ se premaknjena logaritemska logistična porazdelitev spremeni v logistično porazdelitev
• Premaknjena logaritemska logistična porazdelitev c parametrom oblike $\xi =1\!$ je enaka kot splošna Paretova porazdelitev s parametrom oblike enakim $\xi =1\!$.

Zunanje povezave

• Opis logaritemske logistične porazdelitve na Mathwave Arhivirano 2009-07-26 na Wayback Machine. (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev