Logistična porazdelitev

Logistična porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema parametroma (lokacije in merila). Njena zbirna funkcija verjetnosti je logistična funkcija, po kateri je tudi dobila ime. Po obliki spominja na normalno porazdelitev, ima samo močnejše repe (večjo sploščenost)

Logistična porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za logistično porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za logistično porazdelitev.
oznaka
parametri	$\mu \,$ parameter lokacije (realno število) $s>0\,$ parameter merila (realno število)
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!$
pričakovana vrednost	$\mu \,$
mediana	$\mu \,$
modus	$\mu \,$
varianca	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!$
simetrija	$0\,$
sploščenost	$6/5\,$
entropija	$\ln(s)+2\,$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!$ za $\|s\,t\|<1\!$
karakteristična funkcija	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,$ za $\|ist\|<1\,$

Uporaba

Logistična porazdelitev se uporablja v

itd.

Funkcija gostote verjetnosti za logistično porazdelitev je

f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!

={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).

.

kjer je

F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!

={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).

.

kjer je

\mu \,

{\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!

e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!

kjer je

Kadar ima slučajna spremenljivka $\log(X)\!$ logistično porazdelitev, ima $X\!$ logaritemsko logistično porazdelitev in slučajna spremenljivka $X-a\!$ ima premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.