Tangentni štirikotnik

Tangéntni štirikótnik je v ravninski geometriji konveksni štirikotnik za katerega obstaja krožnica, ki se dotika vseh njegovih stranic, oziroma, ki ima včrtano krožnico. Ime tangentni izhaja iz značilnosti, da je vsaka njegova stranica tangentna na eno včrtano krožnico.

Zgled tangentnega štirikotnika

Ena od osnovnih značilnosti tangentnega štirikotnika je, da je štirikotnik tangentni, če in samo če se simetrale njegovih notranjih kotov sekajo v eni točki.

Splošne značilnosti

Chaojeva karakterizacija tangetnega štirikotnika s polmeri včrtanih krožnic štirih trikotnikov

Romb

• vsota nasprotnih stranic je enaka in velja:

$|{\overline {AB}}|+|{\overline {CD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {BC}}|\!\,.$

Tako velja:

$a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s\!\,.$

kjer je s polobseg tangentnega štirikotnika.

• diagonali konveksnega štirikotnika razdelita štirikotnik na štiri trikotnike. Za tangentni štirikotnik velja:

${\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}\!\,,$

kjer so $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ polmeri pripadajočih včrtanih krožnic štirih trikotnikov.

Posebni primeri

Posebni primeri tangentnih štirikotnikov so vsi deltoidi, na primer romb in kvadrat. Vsi deltoidi so ravno tisti tangentni štirikotniki, ki so tudi ortodiagonalni. Posebni primer tangentnega štirikotnika je tudi tangentni trapez. Štirikotniki, ki so hkrati tangentni in tetivni, se imenujejo bicentrični štirikotniki ali tetivnotangentni štirikotniki.

Ploščina

Ploščina tangentnega štirikotnika je:

$p=sr=(a+c)r=(b+d)r\!\,,$

kjer je r polmer včrtanega krožnice. Po Bretschneiderjevi formuli velja:

$r={\frac {\sqrt {4e^{2}f^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {e^{2}f^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}\!\,,$

kjer sta $e$ in $f$ diagonali tangentnega štirikotnika.

Glej tudi

• tetivni štirikotnik
• Pitotov izrek

Viri

• Chao, Wu Wei; Simeonov, Plamen (2000). »When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)«. American Mathematical Monthly. Zv. 107, št. 7. str. 657–658. doi:10.2307/2589133.
• Josefsson, Martin (2010). »Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral« (PDF). Forum Geometricorum. Zv. 10. str. 119–130.
• Radić, Mirko (1999). »Some relations and properties concerning tangential polygons« (PDF). Mathematical Communications (v angleščini). Št. 4. Univerza v Osijeku. str. 197–206. ISSN 1331-0623. Pridobljeno 5. oktobra 2013.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Tangential Quadrilateral«. MathWorld.