Eliptična krivulja je gladka, ravninska projektivna algebrska krivulja z rodom enakim 1. Na ravnini je določena posebna točka, ki se jo označuje z in služi kot nevtralni element. Eliptična krivulja je Abelova varieteta. Eliptične krivulje so definirane nad obsegom.

Pregled eliptičnih krivulj. Prikazano področje je [−3,3]2 (Za a = 0 in b = 0 ni gladko in torej niso eliptične krivulje.)

Ime eliptična krivulja ima zgodovinski izvor zaradi svoje povezave z eliptičnimi integrali, ker so prvotno služili za izračunavanje dolžine lokov elips. Pri tem pa elipsa sploh ni eliptična krivulja.

Vsako eliptično krivuljo se lahko napiše v obliki:

.

Krivulja je nesingularna, nima konic (nesingularnosti) ali samopresečišč.

Kadar je karakteristika obsega koeficientov enaka 2 ali 3, zgornja enačba v splošnem ni dovolj, da bi vsebovala vse nesingularne krivulje tretje stopnje.

Točka je točka v neskončnosti v projektivni ravnini.

Če je , kjer je mnogočlenik stopnje tri v spremenljivki tako, da se ničle ne ponavljajo, potem se dobi nesingularno ravninsko krivuljo z rodom enakim 1. To pa je eliptična krivulja. Kadar ima mnogočlenik stopnjo 4 in nima kvadratov, se prav tako dobi krivuljo z rodom enakim 1, vendar ni naravne izbire nevtralnega elementa. Če se govori splošno, je vsaka algebrska krivulja z rodom 1, ki na primer nastane s presekom dveh ploskev druge stopnje vloženih v trirazsežni projektivni prostor.

Eliptične krivulje nad realnimi števili

uredi
 
Krivulji   in  .

Eliptično krivuljo se prišteva med ravninske krivulje, saj ima obliko:

 

kjer je:

  •   realno število
  •   realno število

Te vrste enačb se imenujejo Weierstrassove enačbe. Za eliptične krivulje se zahteva, da so nesigularne, to pomeni, da nimajo vrhov, se same ne sekajo in nimajo izoliranih točk.

Krivulja je nesingularna, če je njena diskriminanta različna od nič.

Diskriminanta eliptične krivulje je enaka:

 

Realni graf nesingularne krivulje ima dve komponenti, če je diskriminanta pozitivna in samo eno komponento, če je negativna. (Na sliki na desni strani ima desna krivulja pozitivno (64) diskriminanto, leva krivulja pa negativno (-368). Temu primerna je tudi oblika krivulj).

Zakon grupe

uredi

Z dodajanjem točke v neskončnosti se dobi projektivna različica krivulje. Če sta   in   na krivulji, potem se lahko enolično določi tretjo točko, ki je na preseku krivulje s premico skozi   in  . Kadar je premica tangenta na krivuljo v tej točki, takrat se to točko šteje dvakrat. Kadar pa je premica vzporedna z y-osjo, se vzame kot da je točka v neskončnosti. Eden izmed teh pogojev velja za poljubni par točk na eliptični krivulji.

 

Lahko se uvede grupno operacijo, ki se jo označi s "+", z naslednjimi značilnostmi: naj bo točka v neskončnosti, ki se jo označi z 0, to pa je nevtralni element grupe. Če premica seka krivuljo v točkah  ,   in   se zahteva, da je   v grupi. Da se prepričati, da pri tem krivulja postane Abelova grupa in tudi Abelova varieteta. Lahko se tudi dokaže, da množica K-racionalnih točk tvori podgrupo te grupe. Če se krivuljo označi z  , potem se podgrupo označi z  .

Eliptične krivulje nad kompleksnimi števili

uredi

Oblikovanje eliptičnih krivulj kot vložitve torusa v kompleksno projektivno ravnino je posledica znamenitih Weierstrassovih eliptičnih funkcij, ki se jih označuje z  . Povezava med samo funkcijo in prvim odvodom te funkcije je:

 

kjer je:

  •   konstanta
  •   konstanta
  •   Weierstrassova eliptična funkcija
  •   prvi odvod Weierstrassove eliptične funkcije

Razumljivo je, da je zgornji odnos v obliki eliptične krivulje nad kompleksnimi števili.

Weierstrassove eliptične funkcije so dvojno periodične. Periodične so glede na osnovni par period  , ki tvorijo mrežo v kompleksni ravnini. V bistvu so Weierstrassove eliptične funkcije definirane na torusu  .

Ta torus pa je lahko potopljen v kompleksno projektivno ravnino s preslikavo:

 

Ta preslikava je grupni izomorfizem, ki nosi naravno grupno strukturo torusa v projektivno ravnino. Ta izomorfizem je lahko tudi izomorfizem Riemannovih ploskev in tako topološko dana eliptična krivulja izgleda kot torus.

Eliptične krivulje nad racionalnimi števili

uredi

Eliptična krivulja   nad obsegom racionalnih števil je definirana tudi nad obsegom realnih števil. Zaradi tega se lahko zakon seštevanja za tangento in sekanto uporabi tudi za krivuljo  . Obrazci kažejo, da ima vsota dveh točk z racionalnimi koordinatami spet racionalne koordinate. Na ta način se lahko pokaže, da množica racionalnih števil krivulje   tvori podgrupo grup realnih točk krivulje  .

Eliptična krivulja nad splošnim obsegom

uredi

Eliptične krivulje se lahko definira nad poljubnim obsegom  . Formalna definicija eliptičnih krivulj opisuje samo nesingularno projektivno krivuljo nad obsegom   z rodom 1 v dani točki.

Če karakteristika obsega   ni niti 2 niti 3, potem se lahko vsako eliptično krivuljo nad   piše v obliki:

 

kjer je:

  •   element obsega  , tako da desna stran mnogočlenika   nima dvojnih ničel
  •   element obsega  , tako da desna stran mnogočlenika   nima dvojnih ničel

Alternativni prikaz eliptičnih krivulj

uredi

Glej tudi

uredi

Zunanje povezave

uredi
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Elliptic Curve«. MathWorld.
  • Eliptična krivulja Arhivirano 2011-10-15 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
  • Eliptična krivulja Arhivirano 2003-02-23 na Wayback Machine. v Mathematical Atlas (angleško)
  • Eliptična krivulja in kriptografija (angleško)