Pitagorejska trojica

Pitagoréjska trojica so v matematiki tri pozitivna cela števila a, b, c za katera velja a² + b² = c². Ime izhaja iz Pitagorovega izreka, kjer vsak pravokotni trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic da pitagorejsko trojico. Takšen trikotnik je pitagorejski trikotnik. Velja tudi obratno: vsaka pitagorejska trojica določa pravokotni trikotnik z danimi dolžinami stranic.

Na primer:

              a          b          c
              3          4          5
              5         12         13
              6          8         10
              7         24         25
              8         15         17
              9         12         15
              9         40         41

Če je (a,b,c) pitagorejska trojica, je tudi (da,db,dc) za poljubno celo število d. Za pitagorejsko trojico rečemo, da je primitivna, če a, b in c nimajo skupnega delitelja. Trikotniki, ki jih opisujejo neprimitivne pitagorejske trojice so vedno sorazmerni trikotniku, ki jih določa manjša primitivna trojica.

Če sta m > n pozitivni celi števili, potem je:

a = m² − n²,

b = 2mn,

c = m² + n²

pitagorejska trojica. Je primitivna samo in samo, če m in n nimata skupnega delitelja in je eden od njiju sod. Če sta n in m oba liha, potem bodo a, b in c sodi in pitagorejska trojica ne bo primitivna. Na ta način ne moremo tvoriti vsako pitagorejsko trojico. Vsaka primitivna trojica (pri spremembi a in b) pa nastane iz edinega para števil m > n brez skupnega delitelja. To kaže, da obstaja neskončno mnogo primitivnh pitagorejskih trojic.

Za raziskovanje pitagorejskih trojic spremenimo izvirno enačbo v obliko:

a² = (c − b)(c + b)

Velja omeniti, da obstaja več kot ena primitivna pitagorejska trojica z istim najnižjim celim številom. Prvi primer je za 20, ki je najmanjše celo število dveh primitivnih trojic: 20 21 29 in 20 99 101.

Število 1.229.779.565.176.982.820 je najnižje celo število v natanko 15.386 primitivnih trojicah. Najmanjši in največji trojici, katerih del je, sta:

1.229.779.565.176.982.820
1.230.126.649.417.435.981
1.739.416.382.736.996.181

in

1.229.779.565.176.982.820
378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.099
378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.101.

Kot zanimivost preučimo faktorizacijo števila 1.229.779.565.176.982.820 = 2² · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47. Število prafaktorjev je v zvezi z velikim številom primitivnih pitagorejskih trojic. Opazimo, da so večja cela števila, ki so najmanjša cela števila v še večjem številu primitivnih pitagorejskih trojic.

Fermatov veliki izrek določa, da netrivialna trojica, podobna pitagorejski z eksponentom večjim od 2 ne obstaja.

Glej tudi

Zunanje povezave

Weisstein, Eric Wolfgang. »Pythagorean Triple«. MathWorld.
Javin kalkulator za enačbo (m² − n², 2mn, m² + n²) in načini s katerimi pridemo do nje Arhivirano 2005-04-04 na Wayback Machine. (angleško)