Porazdelitev beta

Beta porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev za različne α in β
Zbirna funkcija verjetnosti beta porazdelitve za različne α in β
oznaka
parametri oblika (realno število)
oblika (realno število)
interval
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
pričakovana vrednost
mediana nezaprta oblika
modus
za
varianca
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Porazdelitev beta je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je definirana na intervalu (0,1). Porazdelitev ima dva parametra, ki določata njeno obliko (parameter oblike). Parametra označujemo z in .

LastnostiUredi

Funkcija verjetnostiUredi

Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev je

 
 
 

kjer je

Zbirna funkcija verjetnostiUredi

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 

kjer je

  •   regulirana nepopolna funkcija beta
  •   nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednostUredi

Pričakovana vrednost je enaka

 .

VariancaUredi

Varianca je enaka

 .

Oblika funkcije gostote verjetnostiUredi

  • Kadar je  , dobimo zvezno enakomerno porazdelitev
  • Za   ima funkcija gostote verjetnosti obliko črke U (rdeča krivulja)
  • Za   or   je padajoča (modra krivulja, glej desno)
    • Za   je funkcija konveksna
    • Za   ima obliko premice
    •   je funkcija konkavna
  • Za   ali   je funkcija naraščajoča (zelena krivulja)
    •   jefunkcija konveksna
    •   je premica
    •   je fumkcija konkavna
  • Za   je unimodalna (vijolična in črna krivulja).

Povezave z drugimi porazdelitvamiUredi

  • Če se slučajna spremenljivka X podreja beta porazdelitvi, potem je spremenljivka T = X/(1 – X) porazdeljena po posebni porazdelitvi, ki jo imenujemo beta porazdelitev druge vrste (včasih jo imenujemo tudi beta prime porazdelitev).
  • Porazdelitev   je enaka enakomerni zvezni porazdelitvi.
  • Če ima slučajna spremenljivka X porazdelitev   in je parameter R realno število, ki je R > 0, potem je slučajna spremenljivka Y = 2RX – R porazdeljena po Wignerjevi polkrožni porazdelitvi.
  • Kadar imata dve slučajni spremenljivki X in Y porazdelitev gama   in  , potem ima X/(X + Y) porazdelitev  
  • Če sta X in Y dve neodvisni slučajni spremenljivki in je prva porazdeljena s porazdelitvijo   in druga z F porazdelitvijo (Snedekorjeva F porazdelitev) z  , potem za verjetnost   velja   za vse  .
  • Beta porazdelitev je posebni primer Dirichletove porazdelitve za samo dva parametra
  • Kumaraswamyjeva porazdelitev spominja na beta porazdelitev.
  • Kadar ima slučajna spremenljivka X zvezno enakomerno porazdelitev z   potem za kvadrat slučajne spremenljivke velja  

Glej tudiUredi