Bernoullijeva porazdelitev

Bernoullijeva porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju (1654 – 1705).

Definicija Bernoullijeve porazdelitve

Slučajna spremenljivka, ki jo obravnavamo po Bernoulijevi porazdelitvi, lahko zavzame samo dve vrednosti: Vrednost 1 z verjetnostjo p (uspešni izid) in vrednost 0 (neuspešni izid) z verjetnostjo q = p – 1, kar lahko zapišemo kot:

$\Pr(X=1)=\!$ $\;1-\Pr(X=0)=\!$ $1-q=p.\!$

pri tem je X slučajna spremenljivka in $\mathbf {Pr}$ je verjetnost.

Funkcija verjetnosti se lahko zapiše kot  $f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{če je }}k=1,\\1-p&{\mbox{če je }}k=0,\\0&{\mbox{v ostalih primerih}}\end{matrix}}\right.$.
To lahko zapišemo tudi kot:

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\,.$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka:

$E\left(X\right)=p\!\,.$

Varianca

Varianca v Bernoullijevi porazdelitvi je enaka:

$\sigma ^{2}=p\left(1-p\right)\!\,.$

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak:

${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\!\,.$

Mediana

Mediane ne moremo določiti.

Sploščenost

Sploščenost je enaka:

${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}\!\,.$

Prehod na Poissonovo porazdelitev

Kadar gre število poskusov preko vseh mej: $n\to \infty$ ter s tem $p_{n}\to 0$ in velja: $\lim \limits _{n\to \infty }np_{n}=\lambda >0$, dobimo Poissonovo porazdelitev s parametrom λ.

Povezava z binomsko porazdelitvijo

Bernoullijeva porazdelitev je posebni primer binomske porazdelitve za n = 1.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev
• Bernoullijev poskus