Bernoullijeva porazdelitev

Bernoullijeva porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev. Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju (1654–1705).

Definicija

Slučajna spremenljivka, ki jo obravnavamo po Bernoulijevi porazdelitvi, lahko zavzame samo dve vrednosti: Vrednost 1 z verjetnostjo $p$ (uspešni izid) in vrednost 0 (neuspešni izid) z verjetnostjo $q=p-1$ , kar lahko zapišemo kot:

\Pr(X=1)=\!

\;1-\Pr(X=0)=\!

1-q=p.\!

pri tem je $X$ slučajna spremenljivka in ${\text{Pr}}$ je verjetnost.

Funkcija verjetnosti se lahko zapiše kot $f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{ko je }}k=1,\\1-p&{\mbox{ko je }}k=0,\\0&{\mbox{v ostalih primerih}}\end{matrix}}\right.$ .
To lahko zapišemo tudi kot:

f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\,.

Značilnosti

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka:

E\left(X\right)=p\!\,.

Varianca

Varianca v Bernoullijevi porazdelitvi je enaka:

\sigma ^{2}=pq=p\left(1-p\right)\!\,.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak:

{\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\!\,.

Mediana

Mediane ne moremo določiti.

Sploščenost

Sploščenost je enaka:

{\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}\!\,.

Prehod na Poissonovo porazdelitev

Kadar gre število poskusov preko vseh mej: $n\to \infty$ ter s tem $p_{n}\to 0$ in velja: $\lim \limits _{n\to \infty }np_{n}=\lambda >0$ , dobimo Poissonovo porazdelitev s parametrom $\lambda$ .

Povezava z binomsko porazdelitvijo

Bernoullijeva porazdelitev je posebni primer binomske porazdelitve za $n=1$ .