Karakteristični polinom (linearna algebra)

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

DefinicijaUredi

Dano imamo kvadratno matriko   in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike  .

Za matriko   velja

 

To lahko napišemo kot

 

kjer je

Matrika   je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so   lastne vrednosti matrike   oziroma, da je determinanta polinom za  .

Karakteristični polinom nad obsegom   za matriko   označimo s  . Določen je kot

 

kjer je

  •   enotska matrika  
  • determinanta se vzame v kolobarju  , to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem  .

ZgledUredi

Določimo karakteristični polinom za matriko

 

Najprej moramo določiti determinanto matrike

 

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru

 .

Karakteristična enačbaUredi

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko  

 .

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled: Imamo matriko

 .

Karakteristična enačba je

 .

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrikUredi

Če za matriki   (z razsežnostjo  ) in   (z razsežnostjo  ) velja, da je   in ima matrika   razsežnost   ter matrika   razsežnost  , potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:

 .

Cayley-Hamiltonov izrekUredi

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je

 

potem velja

 .

To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto   vstavimo matriko  , dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnostiUredi

  • polinom   ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je  
  • dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
  • matrika   in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezaveUredi