Hiperbolična porazdelitev
oznaka
H
(
μ
,
α
,
β
,
δ
,
γ
)
{\displaystyle {\textrm {H}}(\mu ,\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma )\!}
parametri
μ
{\displaystyle \mu \!}
parameter lokacije (realno število )
α
{\displaystyle \alpha \!}
β
{\displaystyle \beta \!}
δ
{\displaystyle \delta \!}
parameter merila (realno število)
γ
=
α
2
−
β
2
{\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}
interval
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
funkcija gostote verjetnosti
γ
2
α
δ
K
1
(
δ
γ
)
e
−
α
δ
2
+
(
x
−
μ
)
2
+
β
(
x
−
μ
)
{\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}
zbirna funkcija verjetnosti
γ
2
α
δ
K
1
(
δ
γ
)
e
−
α
δ
2
+
(
x
−
μ
)
2
+
β
(
x
−
μ
)
{\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}
pričakovana vrednost
μ
+
δ
β
K
2
(
δ
γ
)
γ
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}}
mediana
modus
μ
+
δ
β
γ
{\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta }{\gamma }}}
varianca
δ
K
2
(
δ
γ
)
γ
K
1
(
δ
γ
)
+
β
2
δ
2
γ
2
(
K
3
(
δ
γ
)
K
1
(
δ
γ
)
−
K
2
2
(
δ
γ
)
K
1
2
(
δ
γ
)
)
{\displaystyle {\frac {\delta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{3}(\delta \gamma )}{K_{1}(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{2}^{2}(\delta \gamma )}{K_{1}^{2}(\delta \gamma )}}\right)}
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
e
μ
z
γ
K
1
(
δ
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
)
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta (\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}))}{(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})K_{1}(\delta \gamma )}}}
karakteristična funkcija
e
μ
z
γ
K
1
(
δ
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
)
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta (\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}))}{(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})K_{1}(\delta \gamma )}}}
Hiperbolična porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev , ki je določena s petimi parametri. Ta vrsta porazdelitev je značilna po tem, da je logaritem funkcije gostote verjetnosti hiperbola . To pomeni, da porazdelitev pada hitreje kot pri normalni porazdelitvi . Za uporabo je primernejša takrat, ko delamo z velikimi vrednostmi, ki so mnogo mnogo bolj verjetne kot pri normalni porazdelitvi.
Začetnik uporabe hiperbolične porazdelitve je britanski brigadir Ralph Alger Bagnold (1896 – 1990), ki jo je opisal v letu 1941 . Ugotovil je, da je logaritem velikosti zrnc peska, ki ga je nanesel veter, podoben hiperboli.
Hiperbolična porazdelitev je posebna oblika splošne hiperbolične porazdelitve , ki pa ima šest parametrov.
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je
γ
2
α
δ
K
1
(
δ
γ
)
e
−
α
δ
2
+
(
x
−
μ
)
2
+
β
(
x
−
μ
)
{\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}
kjer je
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
γ
2
α
δ
K
1
(
δ
γ
)
e
−
α
δ
2
+
(
x
−
μ
)
2
+
β
(
x
−
μ
)
{\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
μ
+
δ
β
K
2
(
δ
γ
)
γ
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}}
Varianca je enaka
δ
K
2
(
δ
γ
)
γ
K
1
(
δ
γ
)
+
β
2
δ
2
γ
2
(
K
3
(
δ
γ
)
K
1
(
δ
γ
)
−
K
2
2
(
δ
γ
)
K
1
2
(
δ
γ
)
)
{\displaystyle {\frac {\delta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{3}(\delta \gamma )}{K_{1}(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{2}^{2}(\delta \gamma )}{K_{1}^{2}(\delta \gamma )}}\right)}
Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov je
e
μ
z
γ
K
1
(
δ
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
)
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta (\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}))}{(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})K_{1}(\delta \gamma )}}}
uredi
Karakteristična funkcija je
e
μ
z
γ
K
1
(
δ
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
)
(
α
2
−
(
β
+
z
)
2
)
K
1
(
δ
γ
)
{\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta (\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}))}{(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})K_{1}(\delta \gamma )}}}
