Odpre glavni meni

Heavisidova skočna funkcija

Heavisidova skočna funkcija pri dogovoru, da je vrednost funkcije za x = 0 enaka 1/2

Heavisidova skóčna fúnkcija H, imenovana tudi enôtina stopníca, enôtska skóčna fúnkcija, oziroma ~ koráčna fúnkcija ali kar Heavisidova fúnkcija [hevisájdova ~], je nezvezna funkcija, ki ima vrednost 0 za negativne argumente in 1 za pozitivne. Skoraj nikoli ni pomembno kakšna vrednost se vzame za H(0), ker se večinoma uporablja kot verjetnostna porazdelitev.

Funkcija se uporablja v matematiki teorije upravljanja in analizi signalov za predstavitev signala, ki se v določenem času prižge in v takšnem stanju ostane neskončno dolgo. Funkcijo so poimenovali v čast angleškega matematika, fizika in elektrotehnika Oliverja Heavisida.

Funkcija je zbirna porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke, ki je skoraj gotovo enaka 0.

Heavisidova funkcija je primitivna funkcija Diracove funkcije δ: H′ = δ, kar se zapiše tudi kot:

čeprav ta razvoj ne velja (ali nima smisla) za x = 0, kar je odvisno od načina opredelitve pomena integralov za δ.

Nezvezna oblikaUredi

Določiti je moč tudi drugo obliko enotske skočne funkcije kot funkcijo diskretne spremenljivke n:

 

Nezvezno časovni enotski sunek je prva razlika nezvezno časovnega skoka:

 

Ta funkcija je zbirna vsota Kroneckerjeve delta:

 

kjer je:

 

nezvezna enotska sunkovna funkcija.

Analitični približkiUredi

Za gladko aproksimacijo skočne funkcije se lahko uporabi logistično funkcijo:

 

kjer večji k odgovarja ostremu prehodu v x = 0. Če vzamemo  , enakost velja v limiti:

 

Za skočno funkcijo obstaja več drugih gladkih, analitičnih aproksimacij[1]. Na primer:

 
 

Ti približki konvergirajo po točkah k skočni funkciji, drugače pa te porazdelitve ne konvergirajo strogo k porazdelitvi delta. Posebej ima merljiva množica:

 

v porazdelitvi δ mero 0, njena mera pa se pri vsaki družini gladkih aproksimacij veča z naraščajočim k.

PredstavitveUredi

Velikokrat je uporabna integralska oblika Heavisidove skočne funkcije:

 

H(0)Uredi

Vrednost funkcije v 0 se lahko določi kot H(0) = 0, H(0) = 1/2 ali H(0) = 1. H(0) = 1/2 je najbolj skladna izbira, saj najbolj poveča simetrijo funkcije in postane v celoti skladna s funkcijo predznaka  . To vodi do bolj splošne definicije:

 

Da se zmanjša dvoumnost katero vrednost vzeti za H(0), se lahko uporabi indeks, ki označuje možno vrednost:

 

Primitivna funkcija in odvajanjeUredi

Primitivna funkcija Heavisidove skočne funkcije je nagibna funkcija:

 

Odvod Heavisidove skočne funkcije je Diracova funkcija δ:

 

Fourierova transformacijaUredi

Fourierova transformacija Heavisidove skočne funkcije je porazdelitev. Z izbiro konstant za definicijo Fourierove transformacije je:

 

Tukaj je treba člen   obravnavati kot porazdelitev, kjer je testna funkcija   Cauchyjeva glavna vrednost  .

Glej tudiUredi

SkliciUredi