Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f\left(t\right)\;dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fae5fa0a45b9e7100c51892faf0ede30f19575)
Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.
Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea, ki jo je razvil.
Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:
Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:
V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.
Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.
Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)