Gaussova ukrivljenost

Od leve proti desni: ploskev z negativno Gaussovo ukrivljenostjo, (hiperboloid), ploskev z ničelno Gaussovo ukrivljenostjo (valj) in ploskev s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo (sfera).

Gaussova ukrívljenost [gáusova ~] (oznaka ) v določeni točki na ploskvi je v diferencialni geometriji produkt glavnih ukrivljenosti κ1 in κ2 v tej točki. Ta vrsta ukrivljenosti se imenuje tudi notranja ukrivljenost, ker je njena vrednost odvisna samo od načina merjenja razdalj na ploskvi, ne pa od tega kako je izometrično vložena v prostor. To je tudi vsebina Gaussovega izreka egregium (veličastni izrek).

Gaussovo ukrivljenost se določi z:

kjer sta:

Drugačna definicijaUredi

Gaussova ukrivljenost je dana tudi z:

 

kjer je:

Totalna ukrivljenostUredi

 
Vsota kotov v trikotniku na ploskvi z negativno ukrivljenostjo je manjša kot pri trikotniku v ravnini.

Površinski integral Gaussove ukrivljenosti preko določenega področja ploskve se imenuje totalna ukrivljenost. Totalna ukrivljenost geodetskega trikotnika je enaka odklonu vsote trikotnikovih kotov od  . Vsota kotov trikotnika na ploskvi s pozitivno ukrivljenostjo bo večja kot  , na ploskvi z negativno ukrivljenostjo pa bo manjša od  . Na ploskvah z ničelno ukrivljenostjo (Evklidska ravnina) pa je vsota kotov točno enaka  . V splošnem pa velja:

 

Še splošnejša oblika pa je Gauss-Bonnettov izrek.

Še nekaj definicijUredi

 
 
  • Za pravokotno parametrizacijo je Gaussova ukrivljenost:
 
  • Za ploskev, ki se jo opiše kot graf funkcije  , je Gaussova ukrivljenost:
 
  • Za ploskev   je Gaussova ukrivljenost enaka:[1]
 
  • Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med obsegom geodetke in krožnice v ravnini:[2]
 
  • Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med površino geodetskega kroga in kroga v ravnini:[2]
 
 

SkliciUredi

  1. Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld
  2. 2,0 2,1 Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
  3. Struik, Dirk (1988). Lectures on Classical Differential Geometry. Courier Dover Publications. ISBN 0486656098. 

Zunanje povezaveUredi