Trikotna matrika

Trikotna matrika je posebna oblika matrik, ki imajo nad ali pod glavno diagonalo vse elemente enake 0. Trikotne matrike so kvadratne matrike, ker imajo enako število vrstic in stolpcev.

Matrika, ki ima obliko

$\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}$

se imenuje spodnje trikotna matrika (tudi spodnja trikotna matrika) ali levo trikotna matrika (tudi leva trikotna matrika).

Podobno je z matriko z obliko

$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}$

ki se imenuje zgornje trikotna matrika (tudi zgornja trikotna matrika) ali desno trikotna matrika (tudi desna trikotna matrika).

Za zgornje trikotno matriko velja $u_{ij}=0\,$ za $i>j\,$.

Za spodnje trikotno matriko pa $l_{ij}=0\,$ za $i<j\,$.

Lastnosti

Determinanta trikotne matrike je enaka zmnožku elementov na glavni diagonali.

Gaussova matrika

Posebna oblika trikotne matrike je Gaussova matrika, ki ima vse elemente, ki niso v diagonali enaki 0, razen v enem stolpcu. Takšna matrika se imenuje tudi atomska zgornja/spodnja trikotna ali Gaussova transformacijska matrika.

$\mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\\&&0&l_{i+1,i}&1&&&\\\vdots &&0&l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}.$

Inverzna matrika je zopet Gaussova matrika

$\mathbf {L} _{i}^{-1}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\\&&0&-l_{i+1,i}&1&&&\\\vdots &&0&-l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&-l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}},$.

Zunanje povezave

• Trikotne matrike – Diplomsko delo Kmetič Gordane (slovensko)
• Trikotne matrike Arhivirano 2010-12-26 na Wayback Machine. (angleško)