Bertrandov izrek

Bertrandov izrék [bertránov ~] v klasični mehaniki pravi, da le za dva tipa potencialov obstajajo stabilni sklenjeni tiri (orbite), za obratno kvadratno centralno silo, kot sta gravitacijski ali elektrostatski potencial:

in za preprost potencial radialnega harmoničnega oscilatorja:

Izrek se imenuje po Josephu Louisu Françoisu Bertrandu, ki ga je leta 1873 objavil.[1][2]

Splošna pripravaUredi

Vse privlačne centralne sile lahko povzročajo krožne tire, ki so seveda sklenjene. Edina zahteva je, da je centralna sila točno enaka centripetalni sili, ki določa ustrezno kotno hitrost za dani krožni polmer. Necentralne sile – tiste, ki so odvisne od kotnih spremenljivk, in tudi od polmera – se tukaj ne upoštevajo, ker v splošnem ne povzročajo krožnih tirov.

Enačba gibanja na polmeru   za delec z maso  , ki se giblje v centralnem potencialu  , je dana z Euler-Lagrangeevimi enačbami:

 

Pri tem se   in vrtilna količina   ohranjata. Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak 0, sila  , ki deluje navzven, je enaka centripetalni sili  , kot se pričakuje.

Definicija vrtilne količine omogoča spremembo odvisne spremenljivke iz   v  :

 

kar da novo gibalno enačbo neodvisno od časa:

 

Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk   in množenju obeh strani z   (glej tudi Binetova enačba):

 

Bertrandov izrekUredi

Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj).

V enačbo za   se zaradi zgoščenega zapisa uvede funkcijo  :

 

kjer   predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno krožno gibanje pri polmeru   mora biti prvi člen na levi strani enak 0:

 

kjer je  .

V naslednjem koraku se obravnava enačbo za   pri majhnih motnjah   iz popolnoma krožnih tirov. Na desni strani se lahko funkcijo   razvije v standardno Taylorjevo vrsto:

 

Če se vstavi ta razvoj v enačbo za   in odšteje konstantne člene, se dobi:

 

kar se lahko zapiše kot:

 

kjer je   konstanta.   mora biti nenegativna, drugače se bo polmer tira spreminjal eksponentno od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev   odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če se lahko zanemari desno stran (npr. pri zelo malih motnjah), so rešitve:

 

kjer je   integracijska konstanta. Da so tiri sklenjeni, mora biti   racionalno število. Mora biti tudi enako racionalno število za vse polmere, saj se   ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije:

 

veljati za poljubno vrednost  , se lahko zapiše:

 

od koder sledi, da mora za silo veljati potenčni zakon:

 

Zaradi tega mora   imeti splošno obliko:

 

Za bolj splošne razlike od krožnosti, (če se npr. v razvoju   v Taylorjevo vrsto ne da zanemariti člene višjih redov), se lahko   razvije v Fourierovo vrsto, na primer:

 

Če se to rešitev vstavi v obe strani enačbe za   in izenači koeficiente, ki pripadajo isti frekvenci, se dobi sistem enačb:

 
 
 

in, kar je najpomembnejše:

 

Zadnja enačba skupaj z enačbo za  , izražena z  , vodi do glavnega rezultata Bertrandovega izreka:

 

Tako so edini potenciali, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile ( ) in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja ( ). Rešitev   odgovarja popolnoma krožnim tirom, kar je omenjeno zgoraj; negativni rešitvi   pa nimata fizikalnega pomena.

Obratna kvadratna sila (Keplerjev problem)Uredi

Glavni članek: Keplerjev problem.

Za obratni kvadratni zakon sile, kot sta gravitacijski ali elekstrostatični potencial, se lahko zapiše potencial kot:

 

Tir   se lahko izpelje iz splošne enačbe:

 

katere rešitev je konstanta   s preprosto sinusoido:

 

Tu sta   (izsrednost) in   (fazni premik) integracijski konstanti.

To je splošna enačba za stožnico z goriščem v izhodišču;   odgovarja krožnici,   elipsi,   paraboli,   pa hiperboli. Izsrednost   je povezana s skupno energijo   (glej na primer Laplace-Runge-Lenzov vektor):

 

Primerjava teh enačb kaže, da   odgovarja elipsi,   paraboli,   pa hiperboli. Posebni primer, ko je:

 

odgovarja popolnoma krožnim tirom.

Radialni harmonični oscilatorUredi

Računanje tira v potencialu radialnega harmoničnega oscilatorja je lažje z vektorskimi komponentami  . Potencialno energijo se lahko zapiše kot:

 

Enačba gibanja za telo z maso   je dana s tremi neodvisnimi Euler-Lagrangeevimi enačbami:

 
 
 

kjer mora biti konstanta   pozitivna, oziroma  , da so tiri omejeni in sklenjeni. Drugače bi telo odneslo v neskončnost. Rešitve tega preprostega harmoničnega oscilatorja so si podobne:

 
 
 

Tu pozitivne konstante  ,   in   predstavljajo amplitude nihanj, koti  ,   in   pa njihove faze. Tir   je sklenjen, ker se ponovi ravno po periodi:

 

Sistem je tudi stabilen, ker majhna odstopanja amplitud in faz povzročajo odgovarjajoče majhne spremembe na celotnem tiru.

SkliciUredi

ViriUredi

  • Bertrand, Joseph Louis François (1873), "Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe.", C. R. Acad. Sci., 77: 849–853
  • Johnson, Porter Wear (2010-02-24), Classical Mechanics With Applications, World Scientific, ISBN 9789814304153, pridobljeno dne 2012-12-02