Fourierova vrsta

Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.

Prvi štirje približki Fourierovih vrst za pravokotni val.

Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih:

Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri in .

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).

DefinicijaUredi

Fourierov obrazec za periodične funkcijeUredi

Naj je periodična funkcija   s periodo  , ki je integrabilna na intervalu  . Števila:

 

in:

 

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo  .

Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za  , ki se jih označuje z:

 

Delne vsote za   so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije   za   dajejo približek, ki se približuje vrednosti za  , ko gre   proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

 

se imenuje Fourierova vrsta za  .

Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost   vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti   te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu  , takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

 
Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.
 
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierovih vrst.

ZgledUredi

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

 
 

V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

 

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti   v vsaki točki, kjer je funkcija   diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

 

Eksponentna Fourierova vrstaUredi

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

 

kjer je:

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

 

Fourierovi koeficienti pa so:

 
 
 

in:

 

Zelo primerno je uporabiti obliko za   tako, da se dobi obrazec v obliki:

 

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

 

kjer:

  •   pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka   predstavlja čas.

Fourierove vrste v splošnem intervaluUredi

Obravnava se splošni interval  , kjer je s periodo   za vsa realna števila definirana funkcija   s kompleksnimi koeficienti  . Lahko se zapiše:

 

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja:  ), v intervalu  , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo   z:

 

potem je   povsod na intervalu   enak  . Iz tega sledi, da ima   periodo enako   in, da naslednje

  • sta   in   povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
  •   se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere   in  .

Fourierove vrste v kvadratuUredi

Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu  :

 

kjer je:

 

Hilbertov prostorUredi

Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij   tvori ortonormalno bazo prostora   za kvadratno integrabilne funkcije v  . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa   in  , ki je definiran kot:

 

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

 

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

 
 
 

kjer je:

ZnačilnostiUredi

Funkcija   pripada  , če je   funkcija s periodo   nad   in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z  .

  • če je   periodična liha funkcija, potem so   za vse  
  • če je   periodična soda funkcija, potem so   za vse  
  • če je   integrabilna funkcija velja   ter   in  . To je Riemann-Lebesguov izrek
  • dvojno neskončno zaporedje   v   je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v  , če in samo če je to konvolucija v  
  • Parsevalov izrek: če je  , potem je tudi  
  • Plancherelov izrek: če so   koeficienti in velja  , potem obstaja funkcija   tako, da velja   za vsak  
  • prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta   in   v L1([−π, π]), potem velja tudi  , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo   funkcij   in  
  • drugi konvolucijski izrek pravi, da je  .

PosplošitveUredi

Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.

Približki in konvergenca Fourierovih vrstUredi

Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
 
Približek reda 10 za pravokotni val.
 
Približek reda 50 za pravokotni val.
 
Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto   s končno:  . Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost   konvergira k  , ko gre   proti neskončnosti.

Divergenca Fourierovih vrstUredi

Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Fourierova vrsta (slovensko)
  • Fourierova vrsta na e-študij (slovensko)
  • Weisstein, Eric Wolfgang. "Fourier Series". MathWorld (angleščina).
  • Apleti za prikaz Fourierovih vrst (angleško)
  • Fourierove vrste (angleško)
  • Učbenik (angleško)
  • Maths Online (angleško)
  • Fourierove vrste in Fourierovi integrali (angleško)