Odpre glavni meni

Fourierova vrsta

Prvi štirje približki Fourierovih vrst za pravokotni val.

Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.

Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih:

Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri in .

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).

DefinicijaUredi

Fourierov obrazec za periodične funkcijeUredi

Naj je periodična funkcija   s periodo  , ki je integrabilna na intervalu  . Števila:

 

in:

 

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo  .

Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za  , ki se jih označuje z:

 

Delne vsote za   so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije   za   dajejo približek, ki se približuje vrednosti za  , ko gre   proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

 

se imenuje Fourierova vrsta za  .

Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost   vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti   te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu  , takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

 
Zgled periodične funkcije, ki se imenuje žagasti val.
 
Animacija prvih petih zaporednih delnih Fourierovih vrst.

ZgledUredi

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

 
 

V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

 

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti   v vsaki točki, kjer je funkcija   diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

 

Eksponentna Fourierova vrstaUredi

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

 

kjer je:

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

 

Fourierovi koeficienti pa so:

 
 
 

in:

 

Zelo primerno je uporabiti obliko za   tako, da se dobi obrazec v obliki:

 

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

 

kjer:

  •   pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka   predstavlja čas.

Fourierove vrste v splošnem intervaluUredi

Obravnava se splošni interval  , kjer je s periodo   za vsa realna števila definirana funkcija   s kompleksnimi koeficienti  . Lahko se zapiše:

 

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja:  ), v intervalu  , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo   z:

 

potem je   povsod na intervalu   enak  . Iz tega sledi, da ima   periodo enako   in, da naslednje

  • sta   in   povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
  •   se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere   in  .

Fourierove vrste v kvadratuUredi

Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu  :

 

kjer je:

 

Hilbertov prostorUredi

Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij   tvori ortonormalno bazo prostora   za kvadratno integrabilne funkcije v  . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa   in  , ki je definiran kot:

 

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

 

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

 
 
 

kjer je:

ZnačilnostiUredi

Funkcija   pripada  , če je   funkcija s periodo   nad   in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z  .

  • če je   periodična liha funkcija, potem so   za vse  
  • če je   periodična soda funkcija, potem so   za vse  
  • če je   integrabilna funkcija velja   ter   in  . To je Riemann-Lebesguov izrek
  • dvojno neskončno zaporedje   v   je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v  , če in samo če je to konvolucija v  
  • Parsevalov izrek: če je  , potem je tudi  
  • Plancherelov izrek: če so   koeficienti in velja  , potem obstaja funkcija   tako, da velja   za vsak  
  • prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta   in   v L1([−π, π]), potem velja tudi  , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo   funkcij   in  
  • drugi konvolucijski izrek pravi, da je  .

PosplošitveUredi

Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.

Približki in konvergenca Fourierovih vrstUredi

Glej tudi: Gibbsov pojav
Gibbsov pojav
 
Približek reda 10 za pravokotni val.
 
Približek reda 50 za pravokotni val.
 
Približek reda 250 za pravokotni val.

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto   s končno:  . Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost   konvergira k  , ko gre   proti neskončnosti.

Divergenca Fourierovih vrstUredi

Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi