Dioklesova cisoida je ravninska krivulja tretje stopnje. Dioklesova cisoida je posplošitev cisoide.

Konstrukcija Dioklesove cisoide.

Zanjo je značilno, da jo lahko uporabimo za konstrukcijo razmerij.

Ime cisoida izvira iz grške besede κισσοείδες kissoeides, kar pomeni oblika bršljana, ki izhaja iz besede κισσός kissos (bršljan), ter besede -οειδές -oeides, kar pomeni podoben. Imenuje se po grškem matematiku in geometru Dioklesu (okoli 240 p. n. št – okoli 180 p. n. št). Diokles je krivuljo odkril pri reševanju problema podvojitve kocke v 2. stoletju p. n. št. Pozneje so jo proučevali še francoski pravnik, matematik in fizik Pierre de Fermat (1601 – 1665), nizozemski astronom, fizik in matematik Christiaan Huygens (1629 – 1695) ter valonski matematik René François Walther de Sluze (1622 – 1685). Je cisoida krožnice in tangentne premice na krožnico glede na točko na krožnici nasproti dotikališča.

Naprava s pomočjo katere lahko narišemo cisoido.

Oblike obrazcev uredi

Naj bo   krožnica s premerom OA in   naj bo v točki   tangenta na krožnico.

Enačba Dioklesove cisoide v kartezičnem koordinatnem sistemu je

 

V parametrični obliki je enačba enaka

 
 .

V polarnih koordinatah pa je   kjer smo označili parameter s  .

Tudi angleški fizik, matematik, astronom, filozof, ezoterik in alkimist Isaac Newton (1642 - 1727) je podal način konstrukcije Dioklesove cisoide.

Diokles je uporabil cisoido, da je dobil srednje velikosti za dano razmerje. To pomeni, da je za dani dolžini   in   uporabil krivuljo, da bi dobil u in v tako, da bi veljalo  .

 
Par parabol, ki sta z vrhovoma obrnjeni druga proti drugi, ena je zgoraj (zelena), druga spodaj (modra). Zgornja parabola se zavrti brez drsenja po spodnji. Pot, ki jo napravi vrh zgornje parabole pri vrtenju po spodnji, je ruleta (prikazana z rdečo barvo). Nastalo krivuljo imenujemo tudi Dioklesova cisoida.

Krivulja ruleta uredi

Recimo, da imamo dve skladni (kongruentni) paraboli, ki sta postavljeno tako, da se dotikata v vrhu. Njuni enačbi naj bosta

 
 

Paraboli sta simetrični z vrhovoma obrnjenima drug proti drugemu (glej sliko na desni).

Poglejmo točko  zgornje parabole. Naklon tangente v zgornji paraboli na tej točki je

 .

Razdalja v zgornji paraboli od točke   do točke   je enaka razdalji na spodnji paraboli od točke   do točke  . To pa pomeni, se med vrtenjem zgornje parabole, kjer je začetna točka na   pride do tangentnega stika na spodnji paraboli v točki  . Ko sta dve takšni točki v stiku sovpadeta tudi tangenti, ki pa imata takrat enak nagib, ki je enak  . Naj bo   kot, ki ga tvori tangenta z x-osjo V tem primeru velja

 .

Inverzna krivulja uredi

Dioklesovo cisoido lahko definiramo tudi kot inverzno krivuljo parabole s središčem inverzije na vrhu parabole. Poglejmo parabolo  . V polarnih koordinatah je njena enačba enaka

 .

Inverzna krivulja ima obliko

 .

To pa je posebni primer definicije Dioklesove cisoide v polarnih koordinatah. Konstrukcijo inverzne krivulje Dioklesove cisoide se imenuje tudi konstrukcija z dvojno projekcijo. Mehanizem, ki to omogoča, je prikazan na sliki.

Glej tudi uredi

Zunanje povezave uredi