Polmer

daljica v krožnici (krogu) ali sferi (krogli) iz središča do oboda krožnice ali površine sfere ali njegova dolžina

Polmér (tudi pôlmér in pólmér[1]) ali rádij[2][3] krožnice (kroga) ali sfere (krogle je v klasični geometriji poljubna daljica od središča do oboda kroga ali površine sfere, v modernejši rabi pa tudi dolžina daljice (razdalja). V znanosti in tehniki se izraz polmer ukrivljenosti pogosto rabi kot sopomenka za polmer.

Krožnica (krog) z obsegom (črno), premerom (modro), polmerom (rdeče) in središčem (zeleno)

Polmer ima lahko za različne geometrijske figure tudi več specifičnih definicij, kot na primer za elipso.

Ime radij je tujka, prevzeta prek nemške besede Radius, ta pa izhaja iz latinske besede radius, kar pomeni polmer, (sončni) žarek, pa tudi napero (špico) kolesa voza, merilna palica.[4][5] Izraz se prvič sreča leta 1569 pri francoskem znanstveniku Petrusu Ramusu, nekoliko kasneje pri Françoisu Viètu, splošno sprejet pa je postal šele konec 17. stoletja.

Tipična okrajšava in ime matematične spremenljivke za polmer je ali . Z razširitvijo je premer ali opredeljen kot dvakratni polmer:[6]

Če objekt nima središča, se izraz lahko nanaša na polmer njegove očrtane krožnice ali očrtane sfere. V obeh primerih je lahko polmer večji od polovice premera, ki je običajno opredeljen kot največja razdalja med poljubnima točkama figure. Polmer včrtane krožnice geometrijske figure je običajno polmer največje krožnice kroga ali sfere, ki jo vsebuje. Notranji polmer obroča, cevi ali drugega votlega objekta je polmer njegove votline.

Za pravilne mnogokotnike je polmer enak polmeru njegove očrtane krožnice.[7] Polmer pravilnemu mnogokotniku včrtane krožnice se imenuje tudi apotema.

V teoriji grafov je polmer grafa minimum vseh točk največje razdalje od do poljubne druge točke grafa.[8]

Formule

uredi

Pri mnogih geometrijskih figurah ima polmer dobro definirano razmerje z drugimi merami figure.

Krožnica in krog

uredi

Polmer krožnice (kroga) z obsegom   je:

 

Polmer kroga s ploščino   je:

 

Polmer krožnice, ki poteka skozi tri nekolinearne točke  ,   in  , je podan z izrazom:

 

kjer je   kot  . Ta formula uporablja sinusni izrek. Če so tri točke podane s svojimi koordinatami  ,   in  , se lahko polmer izrazi kot:

 

Elipsa

uredi
Glavni članek: elipsa.
 
Elipsi očrtana in včrtana krožnica

Za elipso se lahko opredeli več pojmov polmera, pojmov, ki vračajo klasični polmer v primeru krožnice.

 
  • površinski polmer je polmer kroga s površino, enako površini elipse. Enak je kvadratnemu korenu produkta obeh polosi elipse:
 
kjer je   izsrednost elipse. To je torej geometrična sredina obeh njenih polosi.
  • še en izjemen polmer elipse je povprečna razdalja od točke, ki se giblje po elipsi s konstantno hitrostjo, do gorišča te elipse. Ta polmer, ki je po definiciji enak:
 
se poenostavi na vrednost velike polosi  .
  • povprečna razdalja od točke, ki se giblje po elipsi s konstantno hitrostjo, do središča te elipse:
 
Izraz ne daje enostavne vrednosti.
  • povprečna razdalja do središča elipse pri konstantni hitrosti ekscentrične anomalije  :
 
je enaka  , kjer je   obseg elipse. To je torej polmer krožnice z obsegom, enakim polmeru elipse.
  • lahko se upošteva tudi standardni odklon razdalje med dvema točkama znotraj elipse:
 
ali:
 
kar se poenostavi na kvadratno sredino obeh polosi  .

Pravilni mnogokotniki

uredi
   
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
 
Zgled za kvadrat  

Polmer   pravilnega mnogokotnika z   stranicami dolžine   je podan z  , kjer je:

 

Vrednosti   za majhne vrednosti   so podane v razpredelnici. Če je  , so te vrednosti tudi polmeri ustreznih pravilnih mnogokotnikov.

Z dolžinami apotem   so polmeri enaki:

 

Elipsoid

uredi
Glavni članek: elipsoid.

Za elipsoid s polosmi   se lahko definira več pojmov polmera.

Povprečni polmer

uredi

Povprečni polmer elipsoida je enak aritmetični sredini vseh njegovih treh polosi:

 

Volumetrični polmer

uredi

Volumetrični polmer elipsoida je enak polmeru navidezne krogle s prostornino, enako prostornini obravnavanega elipsoida. Je enak geometrični sredini vseh njegovih treh polosi:

 

Avtalni polmer

uredi

Avtalni polmer (enakopovršinski polmer) elipsoida je enak polmeru navidezne krogle s površino, enako površini obravnavanega elipsoida  :

 

V primeru podolgovatega sferoida (vrtenje elipse okrog glavne osi) je polmer na primer enak:

 

Hiperkocke

uredi

Polmer  -razsežne hiperkocke ( -kocke) z dolžino stranice   je:

 

Raba v koordinatnih sistemih

uredi

Polarni koordinati

uredi

Polarni koordinatni sistem   je dvorazsežni koordinatni sistem, v katerem je vsaka točka na ravnini določena z razdaljo od fiksne točke in kotom od fiksne smeri.

Fiksna točka (analogna izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema) se imenuje pol, žarek iz pola v fiksni smeri pa je polarna os. Razdalja od pola se imenuje radialna koordinata ali radij, kot pa kotna koordinata, polarni kot ali azimut.[9]

Cilindrične koordinate

uredi

V cilindričnem koordinatnem sistemu   sta izbrana referenčna os in izbrana referenčna ravnina, pravokotna na to os. Izhodišče sistema je točka, kjer so lahko vse tri koordinate podane kot nič. To je presečišče med referenčno ravnino in osjo.

Os se različno imenuje cilindrična ali vzdolžna os, da se jo loči od polarne osižarka, ki leži v referenčni ravnini in se začne pri izhodišču in kaže v referenčni smeri.

Razdalja od osi se imenuje radialna razdalja ali radij, medtem ko se kotna koordinata včasih imenuje kotna lega ali azimut. Radij in azimut se skupaj imenujeta polarni koordinati, saj ustrezata dvorazsežnemu polarnemu koordinatnemu sistemu v ravnini skozi točko, ki je vzporedna z referenčno ravnino. Tretja koordinata se imenuje višina ali altituda (če je referenčna ravnina vodoravna), vzdolžna lega[10] ali osna lega.[11]

Sferne koordinate

uredi
Glavni članek: sferni koordinatni sistem.

V sfernem koordinatnem sistemu   radij   opisuje razdaljo točke od fiksnega koordinatnega izhodišča. Njegovo lego opredeljuje polarni kot, izmerjen med radialno smerjo in fiksno smerjo zenita, in azimutni kot, kot med pravokotno projekcijo radialne smeri na referenčno ravnino, ki poteka skozi koordinatno izhodišče in je pravokotna na zenit in fiksno referenčno smer v tej ravnini.

Glej tudi

uredi

Sklici

uredi
  1. »polmér«, fran.si, Fran, Slovar slovenskega knjižnega jezika, pridobljeno 23. septembra 2024
  2. »rádij«, fran.si, Fran, Slovar slovenskega knjižnega jezika, pridobljeno 23. septembra 2024
  3. »radius«, merriam-webster.com (v angleščini), Merriam-Webster, pridobljeno 22. maja 2012
  4. Snoj (2015).
  5. »radius«, dictionary.com (v angleščini), Dictionary.com, pridobljeno 8. avgusta 2009
  6. »Radius of a Circle or Sphere«, mathwords.com (v angleščini), pridobljeno 8. avgusta 2009
  7. Rich; Thomas (2008).
  8. Gross; Yellen (2006).
  9. Brown (1997).
  10. Krafft; Volokitin (2002).
  11. Groisman; Steinberg (1997).

Zunanje povezave

uredi