Apéryjeva konstanta

Apéryjeva konstanta je v matematiki, na meji med teorijo števil in specialnimi funkcijami, vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil. Določena je kot število:

Seznam števil Iracionalna števila γ ζ(3) ρ √2 Φ √3 √5 δS e π δ
dvojiško	1,0011001110111010...
desetiško	1,2020569031595942854...
šestnajstiško	1,33BA004F00621383...
verižni ulomek	$[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,\cdots \!\,$ Verižni ulomek $\zeta (3)\!\,$ je neskončen, ni pa znano ali je periodičen ali ne.

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\!\,,$

kjer je $\zeta \!\,$ Riemannova funkcija zeta. Njena približna desetiška vrednost je enaka (OEIS A002117):

$\zeta (3)=1,20205\ 69031\ 59594\ 28539\ 97381\ 61511\ 44999\ 07649\ 86292\ldots \!\,.$

Konstanta se imenuje po Rogerju Apéryju. Naravno se pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda elektronskega giromagnetnega razmerja s pomočjo kvantne elektrodinamike (QED). Pojavlja se tudi pri analizi naključnih minimalno vpetih dreves in v povezavi s funkcijo gama pri reševanju določenih integralov z eksponentnimi funkcijami v količniku, ki se občasno pojavlja v fiziki, na primer pri izračunavanju dvorazsežnega primera Debyjevega modela in Sfefan-Boltzmannovega zakona.

Iracionalno število

Apéry je leta 1978 dokazal, da je konstanta iracionalno število. Ta rezultat je znan kot Apéryjev izrek. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje. Kasneje so našli preprostejše dokaze.

Beukersov preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za $\zeta (3)\!\,$:

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\!\,$

z Legendrovimi polinomi. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

$I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=b_{n}\zeta (3)-a_{n}\!\,,$

kjer je $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}\!\,$, $P_{n}(z)\!\,$ Legendrovi polinomi, podzaporedja $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ pa so cela ali skoraj cela števila.

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta transcendentno število.

Glej tudi

• Baselski problem

Viri

• Apéry, Roger (1979), »Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$«, Astérisque, 61: 11–13
• Beukers, Frits (1979), »A Note on the Irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$«, Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268
• Frieze, Alan Michael (1985), »On the value of a random minimum spanning tree problem«, Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7, MR 0770868
• van der Poorten, Alfred (1979), »A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta (3)$« (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, S2CID 121589323, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 6. julija 2011
• Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe (ur.), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (sporočilo Simonu Plouffeju z vsemi decimalkami vendar s krajšim besedilom, ki ga je uredil Simon Plouffe).
• Wedeniwski, Sebastian (13. december 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (sporočilo Simonu Plouffeju z izvirnim besedilom, vendar z le nekaj decimalkami).
• Zudilin, Vadim Valentinovič (2001), »One of the numbers $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, $\zeta (11)$ is irrational«, Russ. Math. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
• Zudilin, Vadim Valentinovič (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159, Bibcode:2002math......2159Z