Paraboloid je kvadrična ploskev ali ploskev drugega reda. Presek vzporeden s koordinatno osjo je parabola.

Rotacijski (krožni) paraboloid
Hiperbolični paraboloid

Znani sta dve obliki paraboloidov v odvisnosti od oblike presekov

Eliptični paraboloid prikažemo z enačbo [1]

kjer je

Obe konstanti določata nivo krivulje v ravninah x-z in y-z.

Hiperbolični paraboloid (ne zamenjujmo ga s hiperboloidom) pa s podobno enačbo [1]

.

Rotacijski paraboloid, ki ima polmer a na višini h, je dan parametrično z [2]

kjer je

Hiperbolični paraboloid je dvojno premonosna ploskev in zaradi tega lahko uporabimo za konstrukcijo sedlaste strehe iz ravnih elementov.

Lastnosti uredi

Kadar je  , postane eliptični hiperboloid rotacijski hiperboloid. To je ploskev, ki jo da okoli svoje osi vrteča se parabola. To je tudi oblika, ki jo imajo parabolični reflektorji, ki se uporabljajo za zrcala in antene. Vzporedni žarki, ki padajo na paraboloid, se zberejo v gorišču. To se uporablja v paraboličnih antenah.

Hiperbolični paraboloid je dvojno premonosna ploskev. Takšna ploskev vsebuje dve družini mimobežnih premic. Vsaka družina je vzporedna skupni ravnini, vendar niso medsebojno vzporedne.

Ukrivljenost uredi

Eliptični paraboloid, ki ga parametriziramo kot

 .

Paraboloid ima Gaussovo ukrivljenost enako

 .

Njegova srednja ukrivljenost pa je

 .

Obe sta vedno pozitivni. Imata največjo vrednost v izhodišču.

Hiperbolični paraboloid, ki ga lahko parametriziramo kot

 

ima Gaussovo ukrivljenost enako

 .

Njegova srednja ukrivljenost pa je

 .

Prostornina uredi

Prostornina paraboloida z višino h je [2]

 

Površina uredi

Površina paraboloida z višino h je [2]

 .

Uporaba uredi

Površina tekočine v vrtečem se valju tvori paraboloid. To se izkorišča v teleskopih s tekočino. Ti teleskopi se zgrajeni tako, da se vrti velikanska posoda, napolnjena s tekočino, ki odbija vpadle svetlobne žarke (na primer živo srebro).

Opombe in sklici uredi

  1. 1,0 1,1 Thomas, George B.; Maurice D., Weir; Joel, Hass; Frank R., Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. str. 892. ISBN 0-321-18558-7.
  2. 2,0 2,1 2,2 Paraboloid na MathWorld

Glej tudi uredi

Zunanje povezave uredi