Eliptični paraboloid je ploskev drugega reda, ki jo
opišemo z enačbo
Eliptični paraboloid.
Eliptični paraboloid z a=b=1
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0}
Parametrične enačbe za eliptični paraboloid z višino h so [1]
x
=
a
u
cos
ν
{\displaystyle x=a{\sqrt {u}}\cos {\nu }}
y
=
b
u
sin
ν
{\displaystyle y=b{\sqrt {u}}\sin {\nu }}
z
=
u
{\displaystyle z=u}
kjer je
ν
ϵ
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \nu \epsilon [0,2\pi )}
u
ϵ
[
0
,
h
]
{\displaystyle u\epsilon [0,h]}
a
{\displaystyle a}
velika polos elipse
b
{\displaystyle b}
mala polos elipse
Kadar je a = b, dobimo eliptični paraboloid, ki ga imenujemo rotacijski paraboloid. Ta nastane takrat, ko zavrtimo parabolo okoli osi, ki je vzporedna z osjo parabole.
Za eliptični paraboloid je značilno, da so preseki vzporedni z osjo simetrije, parabole . Preseki, ki pa so pravokotni nanje, so elipse in v posebnih primerih krožnice .
Gaussova ukrivljenost
uredi
Gaussova ukrivljenost je enaka [1]
K
=
4
a
2
b
2
[
4
a
2
b
2
+
2
u
(
a
2
+
b
2
)
+
2
(
a
2
−
b
2
)
u
cos
2
ν
]
2
{\displaystyle K={4a^{2}b^{2} \over [4a^{2}b^{2}+2u(a^{2}+b^{2})+2(a^{2}-b^{2})u\cos {2\nu }]^{2}}}
.
Srednja ukrivljenost
uredi
Srednja ukrivljenost pa je [1]
K
=
a
b
(
a
2
+
b
2
+
4
u
[
4
a
2
b
2
+
2
u
(
a
2
+
b
2
)
+
2
(
a
2
−
b
2
)
u
cos
2
ν
]
2
{\displaystyle K={ab(a^{2}+b^{2}+4u \over [4a^{2}b^{2}+2u(a^{2}+b^{2})+2(a^{2}-b^{2})u\cos {2\nu }]^{2}}}
.
Opombe in sklici
uredi
Zunanje povezave
uredi