Kvaternion

Kvaternióni (množico kvaternionov se označuje s $\mathbb {H}$) so v matematiki sistem hiperkompleksnih števil in so nekomutativna razširitev kompleksnih števil. Najprej so imeli kvaternione za patološke, ker zanje ne velja zakon komutativnosti ab = ba, in so jih zato poskušali čim bolj nadomestiti z vektorji. Danes se jih uporablja na mnogih področjih teoretične in uporabne matematike. Kvaternione je vpeljal irski matematik, fizik in astronom sir William Rowan Hamilton leta 1843.

Definicija

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Kompleksna števila se dobi, če se realnim številom doda element i (imaginarno enoto), za katerega velja $i^{2}=-1$, kvaternione pa, če se realnim številom doda elemente i, j in k, za katere veljajo naslednje zveze:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\!\,.$

Splošna oblika kvaterniona je zapisana kot:

$q=a+bi+cj+dk\!\,.$

Pri tem so spremenljivke $a\;$, $b\;$, $c\;$ in $d\;$ realna števila.

Množica kvaternionov $\mathbb {H} \,$ je enakovredna štirirazsežnemu vektorskemu prostoru nad realnimi števili $\mathbb {R} ^{4}\,$. Množica $\mathbb {H} \,$ ima tri operacije: seštevanje ter skalarno in kvaternionsko množenje. Vsota dveh elementov množice $\mathbb {H} \,$ je vsota njenih elementov iz $\mathbb {R} ^{4}\,$. Podobno je zmnožek elementa iz $\mathbb {H} \,$ z realnim številom enak kot zmnožek v $\mathbb {R} ^{4}\,$. Da bi se definiral zmnožek dveh elementov v $\mathbb {H} \,$, je treba določiti bazo v $\mathbb {R} ^{4}\,$. Elemente ta baze se običajno označuje z $1,i,j,k\,$. Vsak element iz $\mathbb {H} \,$ se lahko napiše kot linearna kombinacija baznih elementov v obliki $a1+bi+cj+dk\,$, kjer so $a,b,c,d\,$ realna števila. Bazni element 1 je nevtralni element množice $\mathbb {H} \,$.

Hamiltonov produkt

Naj sta dva kvaterniona $a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k\,$ in $a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k\,$ potem je njun Hamiltonov produkt $(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,$ določen z zmnožkom baznih elementov in zakonom distributivnosti. To da naslednjo vrednost

$a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+a_{1}d_{2}k$

${}+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}i^{2}+b_{1}c_{2}ij+b_{1}d_{2}ik$

${}+c_{1}a_{2}j+c_{1}b_{2}ji+c_{1}c_{2}j^{2}+c_{1}d_{2}jk$

${}+d_{1}a_{2}k+d_{1}b_{2}ki+d_{1}c_{2}kj+d_{1}d_{2}k^{2}\,$.

Skalarni in vektorski del kvaterniona

Kvaternion oblike $a+0i+0j+0k\,$ (a je realno število), se imenuje realni del kvaterniona. Kvaternion, ki ima obliko $0+bi+cj+dk\,$ (b, c in d so realna števila), se imenuje čisti imaginarni kvaternion. Če je $a+bi+cj+dk\,$ kvaternion, se potem imenuje $a$ skalarni del kvaterniona in $bi+cj+dk\,$ se imenuje vektorski del. Čeprav je vsak kvaternion vektor v štirirazsežnem vektorskem prostoru, se lahko definira vektor kot čisti imaginarni kvaternion. S tem postane vektor isto kot element vektorskega prostora $\mathbb {R} ^{3}\,$.

Hamilton je imenoval imaginarne kvaternione kot prave kvaternione , realna števila pa so bila zanj skalarni kvaternioni.

Konjugirana ter obratna vrednost, norma in enotski kvaternion

Konjugirana vrednost

Konjugirana vrednost kvaterniona se določi podobno kot se določi konjugirana vrednost kompleksnega števila. Kadar je kvaternion enak $q=a+bi+cj+dk\,$ je njegova vrednost enaka $q=a-bi-cj-dk\,$. Označuje se jo kot $q^{*}\,$ ali ${\overline {q}}\,$. Konjugacija je involucija, kar pomeni, da se pri dvakratni konjugaciji dobi prvotni element. Konjugacija produkta je produkt konjugiranih vrednosti v obratnem vrstnem redu. To je:

$(pq)^{*}=q^{*}p^{*}\,$.

Konjugirana vrednost kvaterniona se lahko prikaže kot kombinacija množenja in seštevanja:

$q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)$.

Obratna vrednost

Obratno vrednost kvaterniona se lahko določi s pomočjo konjugirane vrednosti in norme:

$q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.$

Norma kvaterniona

Norma kvaterniona je kvadratni koren iz zmnožka kvaterniona z njegovo konjugirano vrednostjo. Normo kvaterniona $q\,$ kot se običajno označuje s $||q||\,$. Hamilton je to vrednost imenoval tenzor kvaterniona q, kar pa ni v skladu z modernim načinom uporabe izraza tenzor. Norma kvaterniona je:

$\lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,$.

Velja tudi:

$\lVert \alpha q\rVert =|\alpha |\lVert q\rVert .$

Norma je multiplikativna, kar pomeni, da je:

$\lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \lVert q\rVert$.

S pomočjo norme se lahko določi tudi razdaljo $d(p,q)\,$ med kvaternionoma $p\,$ in $q\,$, ki je norma njune razlike:

$d(p,q)=\lVert p-q\rVert \,$.

To pa pomeni, da je $\mathbb {H} \,$ metrični prostor.

Enotski kvaternion

Enotski kvaternion je kvaternion z normo 1. Dobi se ga iz:

$\mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}\,$.

Z $\mathbf {U} q\,$ se je označil enotski kvaternion, ki se imenuje tudi versor kvaterniona $q\,$.

Zunanje povezave

• http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2001/ura/korosec/Algebra.html
• Hamilton's Quaternions -- uvajanje v angleščini
• http://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf e-Book "Doing Physics with Quaternions"