Norma (matematika)

Norma (oznaka za vektor ) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta in dve točki v ravnini, je norma vektorja razdalja med točkama in ali , kar zapišemo kot .

DefinicijaUredi

Norma vektorjaUredi

Za dani vektorski prostor   nad podobsegom   kompleksnih števil je norma funkcija  , ki zadošča naslednjim pogojem

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  .

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa   iz vektorskega prostora   označujemo z  .

Če ima vektor   normo enako 1 ( ), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor   lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor     normo, ki je enaka 1.

Lastnosti normeUredi

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  .

PrimeriUredi

Evklidska normaUredi

Glavni članek: Evklidska razdalja.

V n-razsežnem Evklidskem prostoru   je dolžina vektorja   določena z

 

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke  , kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru   je najblj pogosto uporabljana norma

 .

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

 .

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

P normaUredi

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za   enaka

 .

Če je  , dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

 .

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je  , dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost  , kar nam da

 

To je limita p-norm za končni p. Norma   je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za   dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost  , tvori hiperkocko z robovi dolžine  

Zunanje povezaveUredi