Norma (oznaka
|
|
a
→
|
|
{\displaystyle ||{\overrightarrow {a}}||\,}
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\,}
matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma , če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.
Če sta
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
|
|
A
B
→
|
|
{\displaystyle ||{\overrightarrow {AB}}||\,}
Za dani vektorski prostor
V
{\displaystyle V\,}
podobsegom
F
{\displaystyle F\,}
kompleksnih števil je norma funkcija
p
:
V
→
R
{\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }
∀
x
∈
V
,
p
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle \forall x\in V,p(x)\geqslant 0\,}
p
(
x
)
=
0
⇒
x
=
0
V
{\displaystyle p(x)=0\Rightarrow x=0_{V}\,}
∀
(
x
,
y
)
∈
V
2
,
p
(
x
+
y
)
⩽
p
(
x
)
+
p
(
y
)
{\displaystyle \forall (x,y)\in V^{2},p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)\,}
∀
α
∈
R
,
∀
x
∈
V
,
p
(
α
x
)
=
|
α
|
p
(
x
)
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x)\,}
Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor .
Normo elementa
x
{\displaystyle x\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
|
|
x
|
|
{\displaystyle ||x||\,}
Če ima vektor
x
{\displaystyle x\,}
|
|
x
|
|
=
1
{\displaystyle ||x||=1\,}
Poljuben neničelni vektor
x
{\displaystyle x\,}
{\displaystyle \,}
x
‖
x
‖
{\displaystyle {\frac {x}{\|x\|}}}
∣
‖
x
‖
−
‖
y
‖
∣≤
‖
x
±
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \mid \|x\|-\|y\|\mid \leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|}
(
‖
x
‖
−
‖
y
‖
)
2
≤
‖
x
+
y
‖
2
≤
(
‖
x
‖
+
‖
y
‖
)
2
{\displaystyle (\|x\|-\|y\|)^{2}\leq \|x+y\|^{2}\leq (\|x\|+\|y\|)^{2}}
‖
x
‖
2
+
‖
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
2
‖
x
‖
‖
y
‖
∈
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]}
‖
0
V
‖
=
‖
x
−
x
‖
=
‖
0
x
‖
=
0
⋅
‖
x
‖
=
0
{\displaystyle \|0_{V}\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0}
0
=
‖
x
−
x
‖
⩽
‖
x
‖
+
‖
−
x
‖
=
2
‖
x
‖
⇒
‖
x
‖
⩾
0
{\displaystyle 0=\|x-x\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0}
V n-razsežnem Evklidskem prostoru
R
n
{\displaystyle R^{n}\,}
x
→
=
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle {\vec {x}}=[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\,}
‖
x
‖
:=
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,}
To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke
x
{\displaystyle x\,}
Pitagorov izrek . Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.
V prostoru
C
n
{\displaystyle C^{n}\,}
‖
z
‖
:=
|
z
1
|
2
+
⋯
+
|
z
n
|
2
=
z
1
z
¯
1
+
⋯
+
z
n
z
¯
n
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}
Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta
‖
x
‖
:=
x
T
x
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {x}}}}.}
Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.
Posebna skupina norm je p-norma, ki je za
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1\,}
‖
x
‖
p
:=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}\,}
Če je
p
=
2
{\displaystyle p=2\,}
Evklidsko normo , ki se izračuna kot
‖
x
‖
:=
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,}
To normo imenujemo tudi druga norma.
Če je
p
=
1
{\displaystyle p=1\,}
geometrije taksijev . To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja .
To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.
To lahko razširimo tudi na vrednost
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty \,}
‖
x
‖
∞
=
max
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
…
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \ \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}\,}
To je limita p-norm za končni p. Norma
L
∞
{\displaystyle L^{\infty }\,}
razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).
Za
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty \,}
c
{\displaystyle c\,}
hiperkocko
z robovi dolžine
2
c
{\displaystyle 2c\,}
![{\displaystyle {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6683fcada4bd27b0d0cc5b5cc268d7f2c7ba534)
![{\displaystyle {\vec {x}}=[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379b53cd57b3d49a88cd6c600ea9bfe14f8de387)
