Odpre glavni meni

Funkcijska enačba

Funkcíjska enáčba (ali fúnkcijska ~ in funkcionálna ~) je v matematki enačba, ki določa funkcijo v implicitni obliki.[1][2][3][4][5] Pri funkcijskih enačbah se ne išče neznana količina, na primer , ampak se išče neznana funkcija, za katero velja nek iskani pogoj. Velikokrat enačba povezuje vrednost funkcije (ali funkcij) v kakšni točki z njeno vrednostjo v drugih točkah. Značilnosti funkcij se lahko na primer določijo s preučevanjem vrst funkcijskih enačb za katere veljajo. Izraz funkcijska enačba se po navadi nanaša na enačbe, ki jih ni moč preprosto zreducirati na algebrske enačbe. Takšnih enačb ni mogoče zreducirati, ker argumenti neznanih funkcij v enačbah niso neodvisne spremenljivke, kot tudi ne nekatere od njih izpeljane funkcije.

ZglediUredi

  • Funkcijski enačbi:
 
zadošča Riemannova funkcija zeta  . Tu je   funkcija gama.
  • Funkcija gama je enolična rešitev naslednjega sistema treh enačb:
 
 
        (Eulerjeva refleksijska formula)
  • Funkcijska enačba:
 
kjer so   cela števila za katera velja  , oziroma  , določa   kot modularno formo reda  .
  • Razni drugi zgledi, ki nujno ne obsegajo standardnih ali poimenovanih funkcij:
  (Cauchyjeva funkcijska enačba)

Potenciranju,

  zadoščajo vse eksponentne funkcije
  zadoščajo vse logaritemske funkcije
  zadoščajo vse potenčne funkcije
  (kvadratna enačba ali paralelogramska enakost)
  (Jensen)
  (d'Alembert)
  (Abelova enačba)
  (Schröderjeva enačba)
  (Böttcherjeva enačba)
  (adijska formula za sinus)
  (adicijska formula za kosinus)
  (Levi-Civita)
 
 

Če se namesto   napiše  , bo zakon asociativnosti izgledal bolj kot funkcijska enačba:

 

Značilnost, ki jo imajo vsi zgornji zgledi, je, da so v vsakem primeru dve ali več znanih funkcij (včasih množenje s konstanto, včasih seštevanje dveh sprememnljivk, včasih funkcija enakosti) znotraj argumenta neznanih funkcij za katere se išče rešitev.

Pri iskanju vseh rešitev se lahko zgodi, da je treba vzeti v obzir pogoje iz matematične analize. V primeru Cauchyjeve enačbe so na primer rešitve, ki so zvezne funkcije, 'upravičene', druge, ki so verjetno brez praktične vrednosti, pa se lahko skontruira (s pomočjo Hamelove baze) za realna števila kot vektorski prostor nad racionalnimi števili. Drug znan takšen zgled je Bohr-Mollerupov izrek, ki karakterizira funkcijo gama za  .

Reševanje funkcijskih enačbUredi

Reševanje funkcijskih enačb je lahko zelo težko. Obstaja pa nekaj splošnih metod za njihovo reševanje. V dinamičnem programiranju se na primer za reševanje Bellmanove funkcijske enačbe rabi več različnih zaporednih aproksimacijskih metod, vključno z metodami na podlagi navadne iteracije.[6][7]

Glavna metoda reševanja elementarnih funkcijskih enačb je substitucija. Velikokrat je uporabna pri dokazovanju surjektivnosti ali injektivnosti ali pri dokazovanju lihosti ali sodosti, če je mogoče. Uporabna je tudi pri ugibanju možnih rešitev. Indukcija je uporabna tehnika v primerih kadar je funkcija določena le za racionalne ali cele vrednosti.

Aktualna je obravnava involucijskih funkcij. Na primer funkcija:

 

Sestava   same s seboj da Babbageovo funkcijsko enačbo (1820):[8]

 

Tudi druge funkcije zadoščajo tej funkcijski enačbi:

 

vključno na drugi strani z  :

 

in:

 

ki vsebuje predhodne tri kot posebne primere.

Zgled 1. Najti je treba vse funkcije  , za katere velja:

 

za vse  , kjer   zavzema realne vrednosti.

Naj je  :

 

Tako je   in  .

Naj je sedaj  :

 
 
 

Kvadrat realnih števil je nenegativen, vsota nenegativnih števil je enaka nič, če in samo če sta obe števili enaki 0. Tako je   za vse  , in   je edina rešitev.

Glej tudiUredi

SkliciUredi

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi