Stopnja polinoma

Stopnja polinoma je enaka najvišji potenci med vsemi členi z neničelnim koeficientom v polinomu, ki se ga izrazi v kanonski obliki (to pomeni kot vsoto oziroma razliko posameznih členov). Stopnja posameznih členov je enaka vsoti potenc posameznih spremenljivk v členu. Zgled: polinom $7x^{2}y^{3}+4x+9\,$ (polinom se lahko piše kot $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0})\,$, ki ima tri člene. Prvi člen ima stopnjo 5 (2 + 3), drugi člen ima stopnjo 1, zadnji člen pa ima stopnjo 0. To pomeni, da ima polinom stopnjo 5.

Imena polinomov po stopnji

Spodaj so navedena imena polinomov za posamezne stopnje :

• stopnja 0 – konstanta
• stopnja 1 – linearni polinom
• stopnja 2 – kvadratni polinom
• stopnja 3 – kubični polinom
• stopnja 4 – kvartični polinom (ali redkeje bikvadratni)
• stopnja 5 – kvintični polinom
• stopnja 6 – sekstični polinom (ali redkeje heksični)
• stopnja 7 – septični polinom (ali redkeje heptični)
• stopnja 8 – oktični polinom
• stopnja 9 – nonični polinom
• stopnja 10 – decični polinom
• stopnja 100 – hektični polinom

Stopnja vsote, razlike, produkta in kompozituma polinomov

Stopnja vsote ali razlike dveh polinomov je enaka ali manjša njihovih stopenj:

$\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P)\deg(Q))\!\,,$

$\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P)\deg(Q))\!\,,$

kjer je:

• z $\deg()\,$ označena stopnja (tudi v nadaljevanju).

Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti njunih stopenj:

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)\!\,.$

Stopnja kompozituma dveh polinomov je enaka produktu njunih stopenj:

$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)\!\,.$

Stopnja ničelnega polinoma

Funkcija $f(x)=0\,$ je tudi polinom, ki se imenuje ničelni polinom.

Stopnja nekaterih drugih funkcij

Stopnja polinoma $f\,$ se lahko izračuna tudi s pomočjo obrazca:

$\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}\!\,.$

Ta obrazec posplošuje pojem stopnje tako, da se lahko določi stopnjo za funkcije, ki niso polinomi.

Primeri:

• recipročna vrednost ($1/x\,$) ima stopnjo enako -1
• kvadratni koren (${\sqrt {x}}\,$) ima stopnjo enako 1/2
• logaritem ($\log x\,$) ima stopnjo 0
• eksponentna funkcija ($e^{x}\,$ ali $\exp x\,$) ima stopnjo $\infty \,$.

Drugi obrazec, ki omogoča izračunavanje stopnje pa je:

$\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}\!\,.$

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Polynomial Degree«. MathWorld.
• Stopnja polinoma v Art of Problem Solving (angleško)