Bikvaternion

Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko $w+xi+yj+zk\,$,

kjer so

• $x,y,z\,$ kompleksna števila
• ${1,i,j,k}\,$ elementi, ki se množijo kot v kvaternionski grupi.

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov

• običajne kvaternione, ko so koeficienti navadna kompleksna števila
• hiperbolične kvaternione, ko so $w,x,y,z\,$ hiperbolična števila
• Studyjevi kvaternioni (dualni kvaternioni), če so $w,x,y,z\,$ dualna števila.

Definicija

Če je ${1,i,j,k}\,$ baza kvaternionov in so $u,v,w,x\,$ kompleksna števila, potem je bikvaternion $q\,$ enak

$q=u1+vi+wj+xk\,$

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom $\mathbb {C} \,$ v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka $h\,$, ker je $i\,$ v kvaternionski grupi. To pomeni, da je

$hi=ih\,$, $hj=jh\,$, in $hk=kh\,$, ker je $h\,$ skalar.

Značilnosti

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \,$ (nad realnimi števili), kjer je $\mathbb {C}$ obseg kompleksnih števil in $\mathbb {H} \,$ je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki

• kvaternionska konjugacija $q^{*}=w-xi-yj-zk\!$
• kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

$q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k\!$ kjer je

• $z^{\star }=a-bh$ kadar je $z=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1\,$.

Pri tem pa velja

$(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\,$.

Vloga v teoriji kolobarjev

Linearna predstavitev

Poglejmo zmnožek dveh matrik:

${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$.

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot $ij=k\,$, potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da

${\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}$

predstavlja kvaternion.

Podalgebre

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil $\mathbb {R} \,$, potem tvori bazo ${1,h,i,hi,hj,hk}\,$ tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je

$(hi)^{2}\ =\ h^{2}i^{2}\ =\ (-1)(-1)\ =\ +1$.

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa $hj\,$ in $hk\,$ tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je $\lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace$ algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata $hj\,$ in $hk\,$. Pri tem je treba upoštevati, da je $(hj)(hk)=(-1)i\,$ in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo ${1,i,hj,hk}\,$ tvori kokvaternionsko algebro.

Zunanje povezave

• Bikvaternionska formulacija relativistične tenzorske dinamike (angleško)