Hiperbolično število

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

kjer je

tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

ZnačilnostiUredi

Seštevanje je definirano kot

 

Množenje pa je definirano z

 

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano številoUredi

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil   konjugirano število določeno kot

 .

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

 
 
 

Velja pa tudi

 .

GeometrijaUredi

Množica točk   za katere velja   je hiperbola za vse   iz  , ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki   in  . Kadar je   dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

 

Matrična predstavitevUredi

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število   lahko prikažemo kot matriko

 ,

ker je

 

in

 .

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

 .

Absolutna vrednostUredi

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila   je enaka

 .

ZgodovinaUredi

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

SopomenkeUredi

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

  • (realna) tesarina
  • (algebrajski) motor
  • hiperbolično kompleksno število
  • birealno število
  • hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
  • dualno število
  • nenormalno kompleksno število
  • perpleksno število
  • Lorentzovo število
  • razcepljeno kompleksno število
  • prostorsko-časovno število
  • dvokompleksno število

Zunanje povezaveUredi