Ta članek govori o splošnem konceptu matematične teorije vektorskih polj. Za vektorski potencial v elektromagnetizmu glej
magnetni vektorski potencial . Za vektorski potencial v mehaniki tekočin glej
funkcija toka .
Véktorski potenciál je v vektorski analizi vektorsko polje , katerega rotor je dano vektorsko polje. To je analogno skalarnemu potencialu skalarno polje , katerega gradient je dano skalarno polje.
Formalno je glede na dano vektorsko polje
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
C
2
{\displaystyle C^{2}\!\,}
A
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}
v
→
=
∇
×
A
→
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} =\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,.}
Naj je:
v
→
:
R
3
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\!\,}
solenoidalno vektorsko polje, ki je dvakrat zvezno odvedljivo . Privzame se, da
v
→
(
x
→
)
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {x}} )\!\,}
1
/
‖
x
→
‖
{\displaystyle 1/\|\mathbf {\vec {x}} \|\!\,}
‖
x
→
‖
→
∞
{\displaystyle \|\mathbf {\vec {x}} \|\to \infty }
A
→
(
x
→
)
=
1
4
π
∫
R
3
∇
y
×
v
→
(
y
→
)
‖
x
→
−
y
→
‖
d
3
y
→
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {x}} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )}{\left\|\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} \right\|}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}
Potem je
A
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
∇
×
A
→
=
v
→
.
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {v}} \!\,.}
Tu je
∇
y
×
{\displaystyle \nabla _{y}\times \!\,}
y
{\displaystyle y\!\,}
∇
×
v
→
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {v}} \!\,}
rot
v
→
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {\vec {v}} \!\,}
gostoto toka
j
{\displaystyle j\!\,}
retardiranega potenciala , se dobi ta formula. Z drugimi besedami,
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
jakosti magnetnega polja
H
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {H}} \!\,}
Integralno domeno se lahko omeji na katero koli enojno povezano območje
Ω
{\displaystyle \Omega \!\,}
A
′
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A'}} \!\,}
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
A
′
→
(
x
→
)
=
1
4
π
∫
Ω
∇
y
×
v
→
(
y
→
)
‖
x
→
−
y
→
‖
d
3
y
→
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {A'}} (\mathbf {\vec {x}} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )}{\left\|\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} \right\|}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}
Posplošitev tega izreka je Helmholtzev razstavitveni izrek , ki pravi, da je mogoče vsako vektorsko polje razstaviti kot vsoto solenoidalnega vektorskega polja in potencialnega vektorskega polja .
Po analogiji z Biot-Savartovim zakonom se
A
″
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})\!\,}
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
A
″
→
(
x
→
)
=
∫
Ω
v
→
(
y
→
)
×
(
x
→
−
y
→
)
4
π
|
x
→
−
y
→
|
3
d
3
y
→
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {A''}} (\mathbf {\vec {x}} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )\times (\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} )}{4\pi |\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} |^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}
Če se zamenja
j
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {j}} \!\,}
gostota električnega toka ) za
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
H
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {H}} \!\,}
A
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}
Naj je
p
→
∈
R
{\displaystyle \mathbf {\vec {p}} \in \mathbb {R} \!\,}
Ω
{\displaystyle \Omega \!\,}
zvezdasta domena s središčem na
p
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {p}} \!\,}
Poincaréjeve leme za diferencialne forme v svet vektorskih polj, tudi
A
‴
→
(
x
→
)
{\displaystyle \mathbf {\vec {A'''}} (\mathbf {\vec {x}} )\!\,}
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
A
‴
→
(
x
→
)
=
∫
0
1
s
(
(
x
→
−
p
→
)
×
(
v
→
(
s
x
→
+
(
1
−
s
)
p
→
)
)
d
s
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {A'''}} (\mathbf {\vec {x}} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {p}} )\times (\mathbf {\vec {v}} (s\mathbf {\vec {x}} +(1-s)\mathbf {\vec {p}} ))\operatorname {d} \!s\!\,.}
Vektorski potencial, ki ga dopušča solenoidalno polje, ni edinstven. Če je
A
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}
v
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}
A
→
+
∇
f
,
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} +\nabla f\!\,,}
kjer je
f
{\displaystyle f\!\,}
skalarna funkcija . To izhaja iz dejstva, da je rotor gradienta poljubnega skalarnega polja
φ
{\displaystyle \varphi \!\,}
ničelnih vektorjev :
∇
×
(
∇
φ
)
=
0
→
,
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {\vec {0}} \!\,,}
kar izhaja iz antisimetričnosti v definiciji rotorja in simetrije drugih odvodov .
Ta needinstvenost vodi do prostostne stopnje v formulaciji elektrodinamike ali umerilne svobode, in zahteva izbiro umeritve .
Elektromagnetno polje
uredi
Električni potencial
φ
{\displaystyle \varphi \!\,}
skalarna količina. Njegov negativni gradient je enak jakosti električnega polja
E
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {E}} \!\,}
E
→
=
−
∇
φ
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {E}} =-\nabla \,\varphi \!\,.}
Rotor magnetnega vektorskega potenciala
A
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}
gostoti magnetnega polja
B
→
{\displaystyle \mathbf {\vec {B}} \!\,}
∇
×
A
→
=
B
→
.
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {B}} \!\,.}
Kadar ni prostih tokov (
∇
×
H
→
=
0
→
{\textstyle \nabla \times \mathbf {\vec {H}} =\mathbf {\vec {0}} \!\,}
elektrostatiki definira magnetni skalarni potencial
ψ
{\displaystyle \psi \!\,}
H
→
=
−
∇
ψ
.
{\displaystyle \mathbf {\vec {H}} =-\nabla \psi \!\,.}
V okviru posebne teorije relativnosti je naravno magnetni vektorski potencial združiti z električnim (skalarnim) potencialom v elektromagnetni potencial – (elektromagnetni) četverec potenciala . Ta za elektromagnetno polje igra vlogo vektorskega potenciala, za gravitacijsko polje pa ga igra na primer Lanczosev potencial .
