Vektorsko polje

Zgled enostavnega vektorskega polja.
Zgled vektorskega polja. Vektorji so prikazani kot puščice, ki imajo različne smeri in velikosti.

Vektorsko polje je funkcija, ki vsaki točki prostora pripiše vektor, pripadajoč neki fizikalni količini. Pojem vektorskega prostora se uporablja v fiziki za opisovanje pojavov, ki vključujejo smer v vsaki točki prostora. Zgledi takšnih pojavov so: gibanje tekočine in sila, ki jo povzroča električno ali magnetno polje. Pogosta je uporaba tudi v modelih pojavov ozračju (hitrost vetra).

Če je prostor evklidski, je pojem vektorskega polja precej lahko razumljiv.

Nekaj enostavnih zgledovUredi

Posebni primeri vektorskih poljUredi

Vektorsko polje na ploskviUredi

Če je   krajevni vektor za katerega velja  , potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

 

Vektorsko polje v prostoruUredi

Če je   krajevni vektor za katerega velja  , potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

 

Gradient skalarnega poljaUredi

Vektorsko polje se lahko dobi iz skalarnega polja z uporabo gradienta. Vektorsko polje  , ki je določeno nad množico   se imenuje gradientno polje. To je takrat, ko obstaja realna funkcija (skalarno polje) tako, da je:

 

Krivuljni integral po zaprti poti v gradientnem polju je enak 0.

Pretok vektorskega polja   čez površino   je določen z integralom:

 

kjer je:

  •   – projekcija vektorja polja na pravokotnico na površino,
  •   – vektorski element površine (vektor enotske pravokotnice pomnožen z  ).

Zgled pretoka vektorskega polja je prostornina tekočine, ki steče skozi površino   pri hitrosti  .

Divergenca vektorskega polja je:

 

Rotor je:

 

kjer je:

  •  enotni vektor na osi x
  •   – enotni vektor na osi y
  •   – enotni vektor na osi z

Gradient omogoča, da se iz skalarnega polja dobi vektorsko polje:

 

ali, če se to zapiše z uporabo nable:

 

Nekatere značilnostiUredi

  • vektorsko polje, ki ima povsod divergenco enako 0, se imenuje solenoidalno vektorsko polje.
  • vektorsko polje, ki pa ima rotor enak 0 v katerikoli točki, se imenuje potencialno vektorsko polje (nevrtično). Takšno polje se lahko prikaže kot gradient nekega skalarnega polja (potenciala).
  • vektorsko polje, ki ima povsod divergenco in rotor enak 0, se imenuje harmonično polje, njegov potencial pa predstavlja harmonično funkcijo.

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi