Seznam Liejevih grup
seznam Wikimedie
Seznam Liejevih grup vsebuje nekatere Liejeve grupe in z njimi povezane Liejeve algebre.
Realne Liejeve grupe in njihove algebre uredi
Legenda
- CM: Je grupa G kompaktna? (Da-D ali ne-N)
- : Nam prikazuje grupe komponent za G. Red komponent grup nam da število povezanih komponent. Grupa je povezana, če in samo, je grupa komponent trivialna (označena z 0).
- : Nam prikazuje osnovno grupo za G, kadarkoli je G povezana grupa. Ta grupa je enostavno povezana, če in samo, če je osnovna grupa trivialna (označena z 0).
- UC: Kadar G ni enostavno povezana grupa, nam da univerzalno pokritje za G.
| Liejeva grupa | opis | CM | UC | opomba | Liejeva algebra | razsež./R | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rn | evklidski prostor s seštevanjem | N | 0 | 0 | abelova | Rn | n | |
| R× | neničelna realna števila z množenjem | N | Z2 | – | abelova | R | 1 | |
| R+ | pozitivna realna števila z množenjem | N | 0 | 0 | abelova | R | 1 | |
| S1 = U(1) | krožna grupa: kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; | D | 0 | Z | R | abelova, izomorfna za SO(2), Spin(2) in R/Z | R | 1 |
| Aff(1) | obrnljiva afine transformacije iz R v R. | N | Z2 | 0 | rešljiva, polneposredni produkt za R+ in R× | 2 | ||
| H× | neničelni kvaternioni z množenjem | N | 0 | 0 | H | 4 | ||
| S3 = Sp(1) | kvaternioni z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; topološko 3-sfera | D | 0 | 0 | izomorfno z SU(2) in Spin(3); dvojno pokritje za SO(3) | Im(H) | 3 | |
| GL(n,R) | splošna linearna grupa: obratna n×n realna matrike | N | Z2 | – | M(n,R) | n2 | ||
| GL+(n,R) | n×n realne matrike s pozitivno determinanto | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
GL+(1,R) je izomorfen z R+ in je enostavno povezan | M(n,R) | n2 | |
| SL(n,R) | specialna linearna grupa: realne matrike z determinanto 1 | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
SL(1,R) ena točka in zato kompaktna in enostavno povezana | sl(n,R) | n2−1 | |
| SL(2,R) | Izometrije z ohranitvijo orientacije za Poincaréjeva polravnina, izomorfna z SU(1,1) ter izomorfna z Sp(2,R). | N | 0 | Z | univerzalno pokritje nima končno razsežnih predstavitev. | sl(2,R) | 3 | |
| O(n) | ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike | D | Z2 | – | simetrijska grupa sfere (n=3) ali hipersfere. | so(n) | n(n−1)/2 | |
| SO(n) | specialna ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike z determinanto 1 | D | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
Spin(n) n>2 |
SO(1) je samo ena točka in SO(2) je izomorfna s krožno grupo, SO(3) je krožna grupa sfere. | so(n) | n(n−1)/2 |
| Spin(n) | spinska grupa: dvojno pokrivanje za SO(n) | D | 0 n>1 | 0 n>2 | Spin(1) je izomorfen z Z2 in ni povezan; Spin(2) je izomorfen s krožno grupo in ni enostavno povezan | so(n) | n(n−1)/2 | |
| Sp(2n,R) | simplektična grupa: realne simplektične matrike | N | 0 | Z | sp(2n,R) | n(2n+1) | ||
| Sp(n) | kompaktna simplektična grupa: kvaternionskih n×n unitarnih matrik | D | 0 | 0 | sp(n) | n(2n+1) | ||
| U(n) | unitarna grupa: kompleksnih n×n unitarnih matrik | D | 0 | Z | R×SU(n) | Za n=1: je izomorfna z S1. Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra | u(n) | n2 |
| SU(n) | specialna unitarna grupa: kompleksna n×n unitarne matrike z determinanto 1 | D | 0 | 0 | Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra | su(n) | n2−1 |
![{\displaystyle \left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&0\end{smallmatrix}}\right]:a,b\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61d6245686d9210da80dcc240739b66591274fb)
Realne Liejeve algebre uredi
Legenda:
- S: Je algebra enostavna? (Da-D ali ne_N)
- SS: Je algebra polenostavna? (Da-D ali ne-N)
| Liejeva algebra | opis | S | SS | opombe | razsež./R |
|---|---|---|---|---|---|
| R | realna števila, Liejev oklepaj je nič | 1 | |||
| Rn | Liejev oklepaj je nič | n | |||
| H | kvaternioni z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | 4 | |||
| Im(H) | kvaternioni z ničelnim realnim delom in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem, izomorfni z realnimi 3-vektorji,
z Liejevim oklepajem vektorskega produkta, je tudi izomorfna z su(2) in so(3,R) |
D | D | 3 | |
| M(n,R) | n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | n2 | |||
| sl(n,R) | kvadratne matrike s sldjo 0 in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | n2−1 | |||
| so(n) | poševnosimetrične kvadratne realne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem. | D | D | Izjema: so(4) je polpreprosta, toda ni preprosta. | n(n−1)/2 |
| sp(2n,R) | realne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0 kjer je J običajna poševnosimetrična matrika | D | D | n(2n+1) | |
| sp(n) | kvadratne kvaternionske matrike A, ki zadoščajo A = −A*, in Liejevim oklepajem kot komutatorjem | D | D | n(2n+1) | |
| u(n) | kvadratne kompleksne matrike A, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | n2 | |||
| su(n) n≥2 |
kvadratne kompleksne matrike A s sledjo 0, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | D | D | n2−1 |
Kompleksne Liejeve grupe in njihove algebre uredi
Vpisana razsežnost je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo groupo/algebro lahko gledamo kot realno Liejevo groupo/algebro z dvakratno razsežnostjo.
| Liejeva grupa | opis | CM | UC | opombe | Liejeva algebra | razsež./C | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | grupna operacija je seštevanje | N | 0 | 0 | abelova | Cn | n | |
| C× | neničelna kompleksna števila z množenjem | N | 0 | Z | abelova | C | 1 | |
| GL(n,C) | splošna linearna grupa: obrnljiva n×n kompleksne matrike | N | 0 | Z | Zan=1: izomorfne z C× | M(n,C) | n2 | |
| SL(n,C) | specialna linearna grupa: kompleksne matrike z determinanto
1 |
N | 0 | 0 | za n=1 je to samo ena točka in je zato kompaktna. | sl(n,C) | n2−1 | |
| SL(2,C) | posebni primer SL(n,C) za n=2 | N | 0 | 0 | izomorfna s Spin(3,C), izomorfna s Sp(2,C) | sl(2,C) | 3 | |
| PSL(2,C) | projektivna specialna linearna grupa | N | 0 | Z2 | SL(2,C) | izomorfna z Möbiusovo grupo, izomorfna z omejeno Lorenzevo grupo SO+(3,1,R), izomorfna z SO(3,C). | sl(2,C) | 3 |
| O(n,C) | ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike | N | Z2 | – | kompakten za n=1 | so(n,C) | n(n−1)/2 | |
| SO(n,C) | specialna ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike z determinanto 1 | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
SO(2,C) je abelova in izomorfna s C×; neabelova za n>2. SO(1,C) je samo ena točka in zatokompaktnain enostavno povezana | so(n,C) | n(n−1)/2 | |
| Sp(2n,C) | simplektična grupa: kompleksne simplektične matrike | N | 0 | 0 | sp(2n,C) | n(2n+1) |
Kompleksne Liejeve algebre uredi
Razsežnost, ki je podana, je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo algebro lahko gledamo kot realno Liejevo algebro z dvakratno razsežnostjo.
| Liejeva algebra | opis | S | SS | opombe | razsež./C |
|---|---|---|---|---|---|
| C | kompleksna števila | 1 | |||
| Cn | Liejev oklepaj je nič | n | |||
| M(n,C) | n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | n2 | |||
| sl(n,C) | kvadratne matrike s trace 0, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | D | D | n2−1 | |
| sl(2,C) | posebni primer sl(n,C) z n=2 | D | D | izomorfna z su(2) C | 3 |
| so(n,C) | antisimetrične kvadratne kompleksne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem | D | D | Izjema: so(4,C) je polenostavna, vendar ni enostavna. | n(n−1)/2 |
| sp(2n,C) | kompleksne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0,
kjer je J običajna poševnosimetrična matrika |
D | D | n(2n+1) |
