Polikocka

geometrijsko telo
Sedem prostih tetrakock
29 enostranskih pentakock
Kiralna pentakocka
Sestavljanka polikock z rešitvijo
Edina nepravilna enostranska trikocka in vseh možnih šest takšnih tetrakock pri kocki soma
Kocka soma ima tri različne tetrakocke, preostale štiri pa so telesa v obliki dvorazsežnih poliomin (ene tromine in treh različnih tetramin)
Dvanajst prostih pentakock in ena tetrakocka pri Bedlamovi kocki


Polikócka je geometrijsko telo, ki ga sestavlja ena ali več enakih s ploskvami spojenih enotskih kock. Polikocke so trirazsežni analogoni dvorazsežnih ravninskih poliomin. Kocka soma, Bedlamova kocka, vražja kocka, Slothouber-Graatsmajeva sestavljanka in Conwayjeva sestavljanka so zgledi problemov pakiranja, ki temeljijo na polikockah. Priljubljena igra Quantumino ameriškega podjetja Family Games America temelji na pentakockah. Štirirazsežni analogon polikock so politeserakti, še večrazsežni pa polihiperkocke.

Štetje polikockUredi

Podobno kot se lahko poliomine šteje na dva načina, se lahko tudi polikocke, kar je odvisno od tega ali se kiralne pare polikock šteje kot ena polikocka ali dve.[1] Šest tetrakock ima na primer zrcalno simetrijo, ena pa je kiralna, tako, da je lahko 7 ali 8 tetrakock.[2] Za razliko od poliomin se polikocke po navadi šteje z ločenimi zrcalnimi pari, saj se jih ne da pretvarjati kot poliomine. Kocka soma še posebej uporablja obe obliki kiralnih tetrakock.

Polikocke se razvrščajo glede na to koliko celic kock imajo:[3]

n ime enostranske
zrcaljenje
posebej
proste negibne
zrcaljenje
skupaj
proste
poliomine
proste
trirazsežne
(OEIS A000162) A038119 A000105 A006766 A001931
1 monokocka 1 1 1 0 1
2 dikocka 1 1 1 0 3
3 trikocka 2 2 2 0 15
4 tetrakocka 8 7 5 2 86
5 pentakocka 29 23 12 11 534
6 heksakocka 166 112 35 77 3481
7 heptakocka 1.023 607 108 499 23.502
8 oktokocka 6.922 3.811 369 3.442 16.2913
9 nonokocka 48.311 25.413 1.285 24.128 1.152.870
10 dekokocka 346.543 178.083 4.655 173.428 8.294.738
11 undekokocka 2.522.522 1.279.537 17.073 1.262.464 60.494.549
12 dodekokocka 18.598.427 9.371.094 63.600 9.307.494 446.205.905
13   138.462.649 69.513.546 238.591 69.274.955 3.322.769.321
14   1.039.496.297 520.878.101 901.971 519.976.130 24.946.773.111
15   7.859.514.470 3.934.285.874 3.426.576 3.930.859.298 188.625.900.446
16   59.795.121.480 29.915.913.663 13.079.255 29.902.834.408 1.435.074.454.755
17       50.107.909   10.977.812.452.428
18       192.622.052   84.384.157.287.999
19       742.624.232   651.459.315.795.897

Do leta 1972 so prešteli polikocke do n = 6.[4] Aleksandrowicz in Barequet sta leta 2006 preštela polikocke za n = 18.[5][6] Čeprav so polikocke večrazsežni naravni analogoni poliomin, je zelo malo znanega o njihovem štetju. Še posebej so raziskali le nekaj družin polikock.[6]

Simetrije polikockUredi

Kakor poliomine se tudi polkocke lahko razvrstijo po tem koliko simetrij imajo. Simetrije polikock (konjugirani razredi podgrup kiralne oktaedrske grupe) je prvi preštel Lunnon leta 1972. Večina polikock je simetričnih, mnoge pa imajo zapletene simetrijske grupe vse do polne simetrijske grupe kocke z 48 elementi. Možne so številne druge simetrije. Obstaja na primer sedem možnih oblik 8-tere simetrije.[2]

Značilnosti pentakockUredi

Dvanajst pentakock je dvorazsežnih in odgovarjajo pentominam. Od preostalih 17 jih ima pet zrcalno simetrijo, drugih 12 pa tvori kiralne pare. Vrste dvorazsežnih pentakock so: 5-1-1, 4-2-1, 3-3-1, 3-2-1. Trirazsežne vrste so: 4-2-2, 3-2-2, 2-2-2.[7]

Polikocka ima lahko 24 orientacij v kubični mreži, ali 48, če je dovoljeno zrcaljenje. Od pentakock imata dve dvorazsežni pentakocki (5-1-1 in križ) zrcalno simetrijo v vseh treh oseh - imata le tri orientacije. Deset jih ima eno zrcalno simetrijo - imajo 12 orientacij. Vsaka od preostalih 17 pentakock ima 24 orientacij.

Dve tipični sestavljanki sta sestavljanje škatle 5 × 5 × s 25 različnimi pentakockami in pakiranje 29 pentakock v škatlo 9 × 9 × 3. V prvi sestavljanki se lahko prva polikocka postavi na več kot 2000 načinov. Več sestavljank se najde na sourceforge.net in na zunanjih povezavah spodaj.

SkliciUredi

  1. Champarnaud idr. (2013).
  2. 2,0 2,1 Read (1972).
  3. "Polycubes". The Poly Pages (angleščina). Pridobljeno dne 2015-08-22.
  4. Lunnon (1971).
  5. Aleksandrowicz; Barequet (2006).
  6. 6,0 6,1 Carré idr. (2013).
  7. Aarts, Ronald M. "Pentacube". MathWorld (angleščina). Pridobljeno dne 2017-08-22.

ViriUredi

Zunanje povezaveUredi