Ekvivalenčni razred

Ekvivalenčni razred je v matematiki množica $X\,$ in ekvivalenčna relacija nad $X\,$. To pomeni, da je ekvivalenčni razred elementa $a\in X\,$ podmnožica vseh elementov v $X\,$, ki so v relaciji z $a\,$. To se lahko zapiše kot:

Skladnost (geometrijska kongruenca) je zgled ekvivalenčne relacije. Dva trikotnika na levi sta skladna, tretji in četrti pa nista skladna z nobenim drugim trikotnikom. Tako prva dva trikotnika pripadata enakemu ekvivalenčnemu razredu, tretji in četrti pa spadata v vsak svoj ekvivalenčni razred.

$[a]=\{x\in X|x\sim a\}\!\,.$

Zaradi refleksivnosti relacije za vsak ekvivalenčni razred $[a]$ velja, da je $a\in [a]$. Vsak element $a\in X\$ pripada svojemu ekvivalenčnemu razredu. To posledično pomeni, da so ekvivalenčni razredi neprazni.

Faktorska množica

Faktorska ali kvocientna množica množice $X$ po ekvivalenčni relaciji $\sim$ je družina vseh ekvivalenčnih razredov. Označimo jo:

$X/\sim \quad =\{[a]|a\in X\}$.

Velja, da je faktorska množica $X/\sim$ množice $X$ razbitje množice $X$. To pomeni, da je unija vseh ekvivalenčnih razredov glede na relacijo $\sim$ enaka množici $X$:

$\bigcup _{a\in X/\sim }[a]=X$.

Zunanje povezave

• Ekvivalenčni razred na ProofWiki (angleško)