Ortogonalni polinomi

Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke . Pri tem ima vsak stopnjo . Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L2 notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821–1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856–1922), ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908–1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895–1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija

uredi

Najugodneje je, da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:

 

kjer sta:

  •   ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:

 

Pri tem imajo   stopnjo   in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja  .

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov

uredi

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:

 

kjer je:

  •   največ kvadratni polinom
  •   linearni polinom
  •   funkcija, ki jo je potrebno najti
  •   konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za  , nimajo jih pa za določene vrednosti konstante  . Obstaja vrsta števil  , ki vodijo do vrste rešitev s polinomi  , če velja ena izmed naslednjih trditev:

  1.   je resnični kvadratni polinom,   pa linearni, potem ima   dva različna realna korena
  2.   ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma   leži točno med korenoma polinoma   in vodeči člen polinomov   in   ima isti predznak.
  3.   je neničelna konstanta,   je linearni polinom in vodeči člen polinoma   ima nasprotni predznak kot polinom  .

Klasična definicija

uredi

Naj bo   interval na realni premici, tako da velja   in  , kar se imenuje interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala:

 

  mora zadoščati zahtevi, da mora biti za polinom   integral:

 

končen. Funkcija   se imenuje utežna funkcija.

Za dani vrednosti   in   se lahko za dana polinoma   in   definira:

 

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija

uredi

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:

 

Ko se pripravlja ortogonalno bazo, se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega se polinome skalira tako, da so koeficienti enostavnejši. To se imenuje standardizacija. Klasične polinome se pogosto standardizira s tem, da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma   se označi s  :

 

Vrednosti za   so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To se lahko zapiše tudi kot:

 

kjer je:

Rekurzivna zveza

uredi

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

 

Koeficienti  ,   in   so odvisni od  .

Vrednosti  ,   in   se lahko neposredno določi. Naj bodo   in   prvi in drugi koeficient polinoma  :

 

in naj bo   notranji produkt polinoma   samega s seboj:

 

Iz tega se dobi:

 

Rodriquesov obrazec

uredi

Posamezni členi   so sorazmerni z  . Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto se ga piše v obliki:

 

kjer je:

  •   odvisen od standardizacije.

Števila λn

uredi

Iz vsega sledi, da je:

 

Ker pa sta   kvadratni in   linearna polinoma sta,   in   konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi

uredi

Med klasične ortogonalne polinome spadajo:

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:

 

Jacobijevi polinomi

uredi
Glavni članek: Jacobijevi polinomi.

Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:

 

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega   in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Legendrovi polinomi

uredi
Glavni članek: Legendrovi polinomi.

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:

 

Enačba se imenuje Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 

Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je:

 

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:

 
 
 
 
 .

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le  , saj velja:

 

Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je   za vse  .

Posplošeni Legendrovi polinomi

uredi

Posplošene Legendrove polinome se označi z:

 

kjer je:

  •   celo število
  •   celo število tako, da je  .

Polinomi so definirani kot:

 

Opomba: parameter   je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:

 

Za stalni   je zaporedje   ortogonalno v intervalu   z utežno funkcijo enako 1.

Za dani   so polinomi rešitev diferencialne enačbe:

 .

Gegenbauerjevi polinomi

uredi
Glavni članek: Gegenbauerjevi polinomi.

Kadar je ena skupina parametrov   in   med seboj enaka, se dobi Gegenbauerjeve polinome. Zapiše se jih kot  . Definirani pa so kot:

 

Pri tem je   in  . Mora pa biti   večji od -1/2.

Polinomi Čebišova

uredi
Glavni članek: polinomi Čebišova.

Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:

 

Imenuje se enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:

 

Rodriquesov obrazec je:

 

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki se jih označuje z  .

Laquerrovi polinomi

uredi
Glavni članek: Laquerrovi polinomi.

Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z  . Parameter   mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba, s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:

 

Druga oblika diferencialne enačbe pa je:

 

Rekurzivni obrazec je:

 

Rodriquesov obrazec je:

 

Hermitovi polinomi

uredi
Glavni članek: Hermitovi polinomi.

Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:

 

Imenuje se Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 

Znana je še tretja oblika:

 

Rekurzivni obrazec je:

 

Rodriquesov obrazec je:

 

Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:

 
 
 
 
 

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov

uredi
ime in oznaka polinomi Čebišova,   polinomi Čebišova
(druge vrste),  
Legendrovi polinomi,   Hermitovi polinomi,  
meje ortogonalnosti        
utežna funkcija          
standardizacija       Vodeči člen =  
kvadrat norme          
vodeči člen          
drugi člen          
         
         
         
konstanta v diferencialni enačbi          
konstanta v Rodriguesovem obrazcu          
rekurzivni odnos          
rekurzivni odnos          
rekurzivni odnos          
ime in oznaka posplošeni Laquerrovi polinomi,   Laguerrovi polinomi,  
meje ortogonalnosti    
utežna funkcija      
standardizacija vodeči člen =   vodeči člen =  
kvadrat norme      
vodeči člen      
drugi člen      
     
     
     
konstanta v diferencialni enačbi      
konstanta v Rodriguesovemu obrazcu      
rekurzivni odnos      
rekurzivni odnos      
rekurzivni odnos      
ime in oznaka Gegenbauerjevi polinomi,   Jacobijevi polinomi,  
meje ortogonalnosti    
utežna funkcija      
standardizacija   if    
kvadrat norme      
vodeči člen      
drugi člen      
     
     
     
konstanta v diferencialni enačbi      
konstanta v Rodriguesovem obrazcu      
rekurzivni odnos      
rekurzivni odnos      
rekurzivni odnos      

Zunanje povezave

uredi
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Orthogonal Polynomials«. MathWorld.
  • Ortogonalni polinomi (angleško)
  • Polinomi Laquerra na MathWorld (angleško)