Cramerjevo pravilo

Cramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb, ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstoja ena rešitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750.

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege) in ne samo za realna števila. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (npr. Gaussova eliminacijska metoda).

Opis pravilaUredi

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb

 

To lahko zapišemo v matrični obliki kot

 

ali

 .

V tem primeru dobimo rešitve kot

  .

kjer je

  •   matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem  .
  •   matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

ZgledUredi

Imamo naslednji sistem linearnih enačb

 

ali

 .

Determinante, ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:

 

Rešitev sistema je:

 

kjer je

  •   vrednost determinante  
  •   determinanta matrike  , kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem  
  •   determinanta matrike  , kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem  
  •   determinanta matrike  , kjer je tretji stolpec s stolpcem  

V nadaljevanju je prikazan zgled reševanja sistema enačb

 

Razširjena matrika sistema enačb je:

 

Po Cramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

 
 
 .

Zunanje povezaveUredi

  • Determinante in Cramerjevo pravilo (slovensko)
  • Weisstein, Eric W. "Cramer's Rule". MathWorld.
  • Cramerjevo pravilo (angleško)
  • Geometrijska razlaga Cramerjevega pravila s simulacijo (angleško)