Lévyjeva porazdelitev

Lévyjeva porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Lévijeva porazdelitev je poseben primer splošne porazdelitve, ki se imenuje Lévijeva alfa stabilna porazdelitev (glej stabilna porazdelitev).

Lévyjeva porazdelitev (nepremaknjena)
Funkcija gostote verjetnosti za Lévyjevo porazdelitev
Zbirna funcija verjetnosti za Lévyjevo porazdelitev.
oznaka	$Levy(c)\!$
parametri	$c>0\,$ parameter merila
interval	$x\in [0,\infty )$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {e^{-c/2x}}{x^{3/2}}}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\textrm {erfc}}\left({\sqrt {c/2x}}\right)$
pričakovana vrednost	neskončna
mediana	$c/2({\textrm {erf}}^{-1}(1/2))^{2}\,$
modus	${\frac {c}{3}}$
varianca	neskončna
simetrija	ni določena
sploščenost	ni določena
entropija	${\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	ni določena
karakteristična funkcija	$e^{-{\sqrt {-2ict}}}$

Imenuje se po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971).

Uporaba

Lévyjeva porazdelitev se opaža na naslednjih področjih :

• Poti sadnih mušic pri iskanju hrane (glej tudi Lévyjev let)
• Porazdelitev časov, ki so potrebni, da delec doseže določeno točko (različno od začetne) pri Brownovem gibanju.
• Dolžine poti, ki jih naredijo fotoni pri gibanju skozi motno sredstvo
• Lévyjeva porazdelitev se uporablja v finančnem modeliranju

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$f(x;c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-c/2x}}{x^{3/2}}}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {c/2x}}\right)$

kjer je

• $erfc(z)\!$ komplementarna funkcija napake.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je neskončna.

Varianca

Varianca je neskončna.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$e^{-{\sqrt {-2ict}}}$.

Dvoparametrična Lévyjeva porazdelitev (premaknjena)

Opisana Lévyjeva porazdelitev ima samo en parameter. To vrsto porazdelitve lahko uporabljamo tudi kot dvoparametrično, če uporabimo parameter lokacije $\mu \!$, ki premakne porazdelitev. V tem primeru v porazdelitvi vse vrednosti $x\!$ zamenjamo z $x-\mu \!$. To povzroči, da se slika porazdelitve samo premakne v desno za $\mu \!$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Povezava s stabilno porazdelitvijo: Če je $X\sim {\textrm {Levy}}(c)\!$ potem ima slučajna spremenljivka $X\!$ stabilno porazdelitev $X\sim {\textrm {Stable}}(1/2,1,c,0)\,$
• Povezava z obratno gama porazdelitvijo: če je $X\sim {\textrm {Levy}}(c)\!$ potem ima slučajna spremenljivka $X\!$ obratno gama porazdelitev $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1/2,c/2)\!$.

Zunanje povezave

• Lévyjeva porazdelitev na Mathworld (angleško)
• Opis Lévyjeve porazdelitve Arhivirano 2010-02-03 na Wayback Machine. (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev